حين تحمل حقيبة وتصعد بها السلم تبذل مجهودًا، وحين تنزل بها السلم لا تبذل المجهود نفسه، رغم أن الحقيبة والارتفاع لم يتغيرا. هذه الملاحظة اليومية هي مدخل درس عمل قوة الثقل. وقد درست في الحصة السابقة عمل قوة ثابتة بصفة عامة، وهذا الدرس تطبيق خاص مهم: قوة الثقل. تعرض الصفحة عمل قوة الثقل في السقوط وفي الصعود، وأنه لا يتعلق بالمسار بل بفرق الارتفاع فقط، ثم علاقته بالطاقة الحركية، وتنتهي بأخطاء متكررة وتمارين محلولة.
تذكير: عمل قوة ثابتة
عمل قوة ثابتة F أثناء انتقال نقطة تأثيرها من A إلى B هو الجداء السلمي W_AB(F) = F × AB × cos α حيث α الزاوية بين شعاع القوة وشعاع الانتقال. ويقاس العمل بالجول J. فإذا كانت α حادة كان العمل موجبًا (قوة محرّكة)، وإذا كانت منفرجة كان سالبًا (قوة مقاوِمة)، وإذا كانت قائمة كان معدومًا.
عمل قوة الثقل
قوة الثقل P = m × g شاقولية موجهة نحو الأسفل، فإذا اخترنا محورًا شاقوليًا موجهًا نحو الأعلى وكان ارتفاعا النقطتين z_A و z_B فإن:
W_AB(P) = m × g × (z_A − z_B)
أي أن عمل الثقل يساوي كتلة الجسم في شدة الجاذبية في فرق الارتفاع بين نقطة الانطلاق ونقطة الوصول. ومنه ثلاث نتائج:
- السقوط (النزول):
z_A > z_Bفالعمل موجبW = + m g h، والثقل قوة محركة. - الصعود:
z_A < z_Bفالعمل سالبW = − m g h، والثقل قوة مقاومة. - المسار الأفقي:
z_A = z_Bفالعمل معدوم لأن الثقل عمودي على الانتقال.
والنتيجة الأهم أن عمل قوة الثقل لا يتعلق بالمسار المتبع بين A و B، بل بالارتفاع بينهما. فهو نفسه سواء نزل الجسم سقوطًا حرًا أم انزلق على مستوٍ مائل أم تتبع مسارًا منحنيًا. وإذا عاد الجسم إلى نقطة انطلاقه كان عمل الثقل على المسار المغلق معدومًا.
علاقة العمل بالطاقة الحركية
تنص مبرهنة الطاقة الحركية على أن تغير الطاقة الحركية بين A و B يساوي مجموع أعمال القوى المطبقة: E_cB − E_cA = ΣW. فإذا سقط جسم دون سرعة ابتدائية من ارتفاع h وكان الثقل وحده يؤثر عليه فإن:
(1 / 2) m v² = m g h ومنه v = √(2 g h)
وسرعة الجسم عند وصوله لا تتعلق بكتلته.
أمثلة محلولة
نأخذ g = 9.8 N/kg.
مثال 1: سقوط. كرة كتلتها 0.2 kg تسقط شاقوليًا من ارتفاع 5 m. W = 0.2 × 9.8 × 5 = 9.8 J موجب.
مثال 2: صعود. رُفعت الكرة نفسها شاقوليًا بارتفاع 3 m. W = −0.2 × 9.8 × 3 = −5.88 J سالب.
مثال 3: مستوٍ مائل. صندوق كتلته 2 kg ينزلق دون احتكاك من أعلى مستوٍ مائل ارتفاعه 1.5 m إلى أسفله. W(P) = 2 × 9.8 × 1.5 = 29.4 J. هذه القيمة لا تتغير إن غيّرنا زاوية الميل مع بقاء فرق الارتفاع 1.5 m، لأن العمل لا يتعلق بالمسار.
مثال 4: السرعة. جسم يسقط من السكون من ارتفاع 20 m. v = √(2 × 9.8 × 20) = √392 ≈ 19.8 m/s.
أخطاء شائعة
- استعمال طول المسار بدل فرق الارتفاع في عمل الثقل. العمل يتعلق بالارتفاع الشاقولي فقط.
- الخطأ في الإشارة: السقوط يعطي عملًا موجبًا والصعود يعطي عملًا سالبًا.
- الخلط بين الكتلة بالكيلوغرام والوزن بالنيوتن عند التعويض.
- نسيان أن العمل على مسار أفقي معدوم، وأن العمل على مسار مغلق معدوم.
- حساب فرق الارتفاع بدل
z_A − z_Bبقيمة مطلقة دون التفكير في الاتجاه. - كتابة الارتفاع بالكيلومتر أو السنتمتر دون تحويله إلى المتر.
تمارين للتدرب
- متزلج كتلته 70 kg ينزل ارتفاعًا شاقوليًا قدره 200 m. احسب عمل ثقله.
- صندوق كتلته 5 kg رُفع شاقوليًا بمقدار 2 m ثم نُقل أفقيًا مسافة 10 m. ما عمل ثقله خلال العملية كلها؟
- حجر كتلته 0.5 kg قُذف إلى أعلى فبلغ ارتفاعًا قدره 4 m. احسب عمل ثقله أثناء الصعود.
- جسم يسقط من السكون من ارتفاع 20 m. احسب سرعته عند الوصول باستعمال مبرهنة الطاقة الحركية.
- بيّن أن عمل الثقل على مسار مغلق معدوم.
الحلول:
W = 70 × 9.8 × 200 = 137200 J ≈ 1.37 × 10⁵ J.- أثناء الرفع
W₁ = −5 × 9.8 × 2 = −98 J، وأثناء النقل الأفقيW₂ = 0. المجموع−98 J. W = −0.5 × 9.8 × 4 = −19.6 J.(1 / 2) m v² = m g hفـv = √(2 × 9.8 × 20) ≈ 19.8 m/s.- في المسار المغلق تتطابق نقطتا البداية والنهاية فـ
z_A = z_BويكونW = m g (z_A − z_B) = 0.
الشرح المصوّر وملفات التمارين
لمن يفضل المتابعة بالصوت والصورة، يشرح الأستاذ حمياني في فيديو «عمل قوة الثقل للسنة الثانية ثانوي» الدرس الخامس في نحو ثمان وثلاثين دقيقة، منطلقًا من كرة تسقط شاقوليًا من الموضع A إلى الموضع B دون سرعة ابتدائية، ويفرق بين حالتي السقوط والصعود، ويحل في آخره تمرينًا.
وللتطبيق على تمارين حقيقية، اطلع على هذه الملفات في الموقع: