كل سنة دراسية تبدأ بمراجعة ما سبق قبل الانتقال إلى الجديد. وفي السنة الأولى متوسط يبدأ برنامج الرياضيات بمراجعة العمليات على الأعداد الطبيعية: الجمع والطرح والضرب. هذه العمليات تعرفها من الابتدائي، لكن المتوسط يطلب منك استعمالها بخواصها لتحسب بسرعة وذكاء، وليس بالطريقة الطويلة فقط. وهذه الخواص ستعتمد عليها طوال المراحل اللاحقة في الأعداد العشرية والنسبية والحساب الحرفي. تعرض هذه الصفحة مراتب العدد الطبيعي، ثم الجمع، ثم الطرح، ثم الضرب، ثم أولوية العمليات، ثم تقنيات الحساب الذهني، وتنتهي بأخطاء شائعة وتمارين محلولة.
مراتب العدد الطبيعي
كل رقم في العدد الطبيعي له قيمة بحسب مرتبته. في العدد 2025:
- الرقم
5في مرتبة الآحاد: قيمته5. - الرقم
2(الثاني من اليمين) في مرتبة العشرات: قيمته20. - الرقم
0في مرتبة المئات: قيمته0. - الرقم
2الأول في مرتبة الآلاف: قيمته2000.
ويتضح أن الرقم نفسه تختلف قيمته باختلاف موضعه.
الجمع
نجمع عددين طبيعيين رقمًا رقمًا، من اليمين إلى اليسار، مع الاحتفاظ عند تجاوز المجموع في مرتبة العدد 9.
خواص الجمع:
- التبديل:
a + b = b + a، فـ27 + 35 = 35 + 27. - التجميع:
(a + b) + c = a + (b + c). وتفيد في تجميع الأعداد التي مجموعها مستدير:48 + 37 + 52 = (48 + 52) + 37 = 100 + 37 = 137. - العدد المحايد:
a + 0 = a.
الطرح
الطرح عملية عكسية للجمع. نطرح عددًا أصغر من عدد أكبر a − b حيث a ≥ b، وبين الأعداد الطبيعية لا يمكن طرح عدد أكبر من عدد أصغر.
- يجب أن يكون المطروح منه أكبر أو يساوي المطروح.
- العلاقة بالجمع:
a − b = cمعناهاc + b = a، وهي أداة جيدة للتحقق من النتيجة. - الطرح ليس تبديليًا:
10 − 4لا تساوي4 − 10.
مثال: 503 − 278 = 225. للتحقق: 225 + 278 = 503.
الضرب
الضرب جمع متكرر: 4 × 6 يعني جمع 6 أربع مرات. وله خواص تسهل الحساب:
- التبديل:
a × b = b × a. - التجميع:
(a × b) × c = a × (b × c). - العنصر الماص:
a × 0 = 0. - المحايد:
a × 1 = a. - التوزيع على الجمع:
a × (b + c) = a × b + a × c. - التوزيع على الطرح:
a × (b − c) = a × b − a × c.
مثال على التوزيع: 7 × 102 = 7 × (100 + 2) = 700 + 14 = 714. و9 × 98 = 9 × (100 − 2) = 900 − 18 = 882.
أولوية العمليات
عندما تجتمع عمليات عدة في عبارة واحدة نحسب بالترتيب التالي:
- العمليات داخل الأقواس أولًا.
- ثم الضرب قبل الجمع والطرح.
- ثم الجمع والطرح من اليسار إلى اليمين.
أمثلة:
3 + 4 × 5 = 3 + 20 = 23(وليس35).(3 + 4) × 5 = 7 × 5 = 35.20 − 6 + 3 = 14 + 3 = 17.
الحساب الذهني
- الجمع بالتعويض:
99 + 47 = 100 + 47 − 1 = 146. - الضرب في
10و100: نضيف صفرًا أو صفرين. - الضرب في
5: نضرب في10ثم نقسم على2:5 × 34 = 340 ÷ 2 = 170. - الضرب في
25: نضرب في100ثم نقسم على4. - التوزيع: تجزئة أحد العددين.
أخطاء شائعة
- تجاوز أولوية العمليات: حساب
3 + 4 × 5على أنها35. - طرح عدد أكبر من عدد أصغر في الأعداد الطبيعية.
- خطأ في الاحتفاظ عند الجمع.
- افتراض أن الطرح تبديلي.
- نسيان الأقواس عند التوزيع.
- خطأ في المراتب عند وضع الأرقام تحت بعضها.
تمارين للتدرب
- احسب بذكاء:
25 + 78 + 75. - احسب
4 × 37 × 25. - احسب
6 × 99. - احسب:
12 + 3 × (10 − 4). - تحقق من الطرح
1000 − 387 = 613بالجمع.
الحلول:
(25 + 75) + 78 = 100 + 78 = 178.(4 × 25) × 37 = 100 × 37 = 3700.6 × (100 − 1) = 600 − 6 = 594.12 + 3 × 6 = 12 + 18 = 30.613 + 387 = 1000، إذن الطرح صحيح.
الشرح المصوّر
لمن يفضل المتابعة بالصوت والصورة، يقدم الأستاذ سليم مختارة في فيديو «الدرس 01: جمع وطرح وضرب أعداد طبيعية للسنة أولى متوسط» أول درس في الرياضيات مع بداية السنة الدراسية، في نحو ثماني دقائق، مبتدئًا بتذكير الأعداد الطبيعية التي درسها التلاميذ في الابتدائي ومراتبها، ثم يدخل في العمليات.