في الرياضيات للسنة الأولى متوسط درس بسيط وممتع هو التعليم في المستوي، أي كيف نحدد موضع نقطة على ورقة بأرقام. فهو الأساس الذي تقوم عليه الخرائط ولعبة المعركة البحرية وشاشات الحاسوب والـGPS. وفي السنوات اللاحقة تصبح الإحداثيات أداة الدوال والتمثيل البياني والهندسة التحليلية، فمن أتقنه الآن سهل عليه الباقي. تعرض الصفحة الدرس خطوة بخطوة.
أولا: التعليم على مستقيم مدرج
قبل المستوي نتذكر المستقيم المدرج: نختار نقطة أصل O (الصفر) ووحدة طول، ونرتب الأعداد: الموجبة إلى اليمين والسالبة إلى اليسار. وكل نقطة على المستقيم يرفق بها عدد وحيد يسمى فاصلتها (أو فاصلتها المعلمة).
ثانيا: المعلم المتعامد في المستوي
التعريف
المعلم المتعامد يتكون من مستقيمين متعامدين متقاطعين في نقطة
Oتسمى المبدأ، على كل منهما تدريج بوحدة طول.
| العنصر | الاسم | الوصف |
|---|---|---|
| المستقيم الأفقي | محور الفواصل (أو محور السينات) | نقرأ عليه الفاصلة |
| المستقيم العمودي | محور التراتيب (أو محور العينات) | نقرأ عليه الترتيبة |
| نقطة التقاطع | المبدأ O |
إحداثياتها (0, 0) |
الاتجاهات
- محور الفواصل: الأعداد الموجبة إلى اليمين، والسالبة إلى اليسار.
- محور التراتيب: الموجبة نحو الأعلى، والسالبة نحو الأسفل.
ثالثا: إحداثيتا نقطة
كل نقطة M في المستوي لها إحداثيتان:
- الفاصلة
x: موضعها على محور الفواصل (نصل إليها بنزول عمود من النقطة إلى المحور الأفقي). - الترتيبة
y: موضعها على محور التراتيب (بعمود نحو المحور العمودي).
نكتب M(x ; y) ونقرأ: «النقطة M فاصلتها x وترتيبتها y». وكتابة الزوج مرتبة: الفاصلة أولا ثم الترتيبة، لذلك (2 ; 5) تختلف عن (5 ; 2).
كيف نقرأ إحداثيتي نقطة؟
- من النقطة نرسم عمودا على محور الفواصل، فيقابل العدد
x. - ونرسم عمودا على محور التراتيب، فيقابل العدد
y. - نكتب
(x ; y).
كيف نعين نقطة معلومة الإحداثيتين؟
مثال: عين A(3 ; 2).
- نبدأ من المبدأ ونسير 3 وحدات إلى اليمين على الأفقي.
- ثم نصعد وحدتين إلى الأعلى.
- نضع نقطة ونسميها
A.
مثال: عين B(-2 ; 4): نسير وحدتين إلى اليسار ثم 4 إلى الأعلى.
رابعا: حالات خاصة
| النقطة | الخاصية |
|---|---|
| على محور الفواصل | الترتيبة y = 0، مثل (4 ; 0) |
| على محور التراتيب | الفاصلة x = 0، مثل (0 ; -3) |
| المبدأ | (0 ; 0) |
| نقطتان على مستقيم أفقي | لهما الترتيبة نفسها |
| نقطتان على مستقيم عمودي | لهما الفاصلة نفسها |
خامسا: الأرباع الأربعة
يقسم المحوران المستوي إلى أربعة أرباع، تتحدد إشارتا الإحداثيتين فيها:
| الربع | الموضع | إشارة x |
إشارة y |
|---|---|---|---|
| الأول | أعلى اليمين | موجبة | موجبة |
| الثاني | أعلى اليسار | سالبة | موجبة |
| الثالث | أسفل اليسار | سالبة | سالبة |
| الرابع | أسفل اليمين | موجبة | سالبة |
ويسير ترقيم الأرباع عكس اتجاه عقارب الساعة.
سادسا: أمثلة محلولة
مثال (1): تحديد الربع
في أي ربع تقع النقطة C(-5 ; -1)؟ الفاصلة سالبة والترتيبة سالبة، فهي في الربع الثالث.
مثال (2): رسم شكل
عين النقاط A(1 ; 1) وB(5 ; 1) وC(5 ; 4) وD(1 ; 4) ثم صل بينها بالترتيب. تحصل على مستطيل طوله 4 وعرضه 3. ومنه نستنتج أن AB أفقي لتساوي الترتيبتين، وBC عمودي لتساوي الفاصلتين.
مثال (3): نقطة رابعة
ثلاثة رؤوس لمتوازي أضلاع: A(0 ; 0) وB(4 ; 1) وC(5 ; 4). أوجد الرأس D. بما أن D = A + C - B (لمركز التناظر المشترك): D(0 + 5 - 4 ; 0 + 4 - 1) = (1 ; 3).
مثال (4): التناظر
نظير النقطة M(2 ; 3) بالنسبة لـ:
- محور الفواصل:
(2 ; -3)(تتغير إشارة الترتيبة). - محور التراتيب:
(-2 ; 3)(تتغير إشارة الفاصلة). - المبدأ:
(-2 ; -3)(تتغير الإشارتان).
مثال (5): المسافة على المحور
المسافة بين نقطتين لهما الترتيبة نفسها هي الفرق بين فاصلتيهما بالقيمة المطلقة. فالمسافة بين P(-3 ; 2) وQ(4 ; 2) تساوي 4 - (-3) = 7 وحدات. وبالمثل المسافة بين نقطتين لهما الفاصلة نفسها هي الفرق بين ترتيبتيهما. وبهذه الفكرة نحسب أطوال أضلاع المستطيلات والمثلثات القائمة على الورق المربعات دون استعمال المسطرة.
مثال (6): مركز قطعة
منتصف القطعة التي طرفاها A(2 ; 6) وB(8 ; 2) هو نقطة فاصلتها وسط الفاصلتين وترتيبتها وسط الترتيبتين: ((2 + 8) / 2 ; (6 + 2) / 2) = (5 ; 4).
سابعا: تطبيقات في الحياة
- الخرائط: خطوط الطول والعرض إحداثيات الأرض.
- المعركة البحرية: خانة مثل
(C ; 5). - شاشة الهاتف: كل بكسل له إحداثيتان.
- ملعب الكرة: موضع اللاعب.
أخطاء شائعة
- عكس ترتيب الإحداثيتين (الترتيبة قبل الفاصلة).
- الخلط بين التحرك إلى اليسار والإشارة السالبة.
- نسيان أن الفاصلة تُقرأ على الأفقي، والترتيبة على العمودي.
- عدم احترام الوحدات المتساوية على المحورين.
- كتابة الإحداثيات بالفاصلة العادية بدل الفاصلة المنقوطة فيلتبس مع الأعداد العشرية.
تمارين للتدرب
- عين النقاط
(2 ; 3)و(-1 ; 4)و(0 ; -2)و(-3 ; -3). - في أي ربع تقع
(7 ; -4)؟ (الرابع) - ما إحداثيتا نقطة على محور الفواصل فاصلتها
-6؟ ((-6 ; 0)) - أنشئ مثلثا قائما رؤوسه
(0 ; 0)و(3 ; 0)و(3 ; 4)واحسب وتره. (5)
نصائح
- اكتب الإحداثيات دائما بين قوسين مفصولة بفاصلة منقوطة.
- استعمل ورقة مربعات وقلما رفيعا.
- تحقق بالقراءة العكسية بعد كل تعيين.
الشرح المصوّر
لمن يفضل المتابعة بالصوت والصورة، يقدم الأستاذ سليم مختارة في فيديو «أبسط شرح لدرس التعليم في المستوي (المعلم) للسنة أولى متوسط» هذا الدرس.