في كثير من المسائل نبحث عن عددين مجهولين بمعلومتين عنهما: ثمن قلم وثمن كراس، أو عدد تذاكر للكبار وعدد تذاكر للصغار، أو عمر شخصين. كل معلومة تعطينا معادلة، والمعادلتان معًا تكوّنان جملة معادلتين. تعرض هذه الصفحة معنى الجملة، ثم الطريقتين الجبريتين المقررتين: التعويض والجمع، ثم الحل البياني، ثم كيف نترجم مسألة كلامية إلى جملة، وتنتهي بأخطاء متكررة وتمارين محلولة.
ما هي جملة معادلتين؟
جملة معادلتين من الدرجة الأولى بمجهولين x و y هي معادلتان من الشكل a x + b y = c. وحلها هو الثنائية (x ; y) التي تحقق المعادلتين معًا. وعند الحل يجب أن تجد قيمة كل من المجهولين، ولا يكفي أن تجد أحدهما.
طريقة التعويض
نستعملها حين يكون أحد المجهولين معزولًا في إحدى المعادلتين أو يسهل عزله:
- نعزل أحد المجهولين في معادلة واحدة.
- نعوّض تعبيره في المعادلة الأخرى فتصير معادلة بمجهول واحد.
- نحل هذه المعادلة.
- نعوّض القيمة التي وجدنا في العبارة المعزولة لنجد المجهول الثاني.
مثال. y = 2x − 1 و 3x + y = 9. نعوّض y في الثانية: 3x + 2x − 1 = 9 ومنه 5x = 10 أي x = 2. ثم y = 2 × 2 − 1 = 3. الحل (2 ; 3).
طريقة الجمع
نستعملها حين تتساوى معاملات أحد المجهولين أو تتعاكس، أو يمكننا أن نجعلها كذلك بالضرب:
- نضرب إحدى المعادلتين أو كلتيهما في عدد مناسب لتتعاكس معاملات أحد المجهولين.
- نجمع المعادلتين طرفًا إلى طرف فيختفي ذلك المجهول.
- نحل المعادلة الناتجة بمجهول واحد.
- نعوّض في إحدى المعادلتين لإيجاد المجهول الثاني.
مثال 1 (معاملات متعاكسة). x + y = 10 و 2x − y = 2. نجمع: 3x = 12 أي x = 4، ثم y = 10 − 4 = 6. الحل (4 ; 6).
مثال 2 (نحتاج إلى الضرب). 3x + 2y = 12 و 2x − 3y = −5. نضرب الأولى في 3 والثانية في 2: 9x + 6y = 36 و 4x − 6y = −10. نجمع: 13x = 26 أي x = 2. ثم من الأولى 3 × 2 + 2y = 12 فـ y = 3. الحل (2 ; 3). تحقق من الثانية: 2 × 2 − 3 × 3 = 4 − 9 = −5.
وللاختيار بين الطريقتين: إذا رأيت مجهولًا معامله 1 أو −1 فالتعويض أسرع، وإذا تساوت المعاملات أو تعاكست فالجمع أسرع.
الحل البياني
كل معادلة a x + b y = c (مع b ≠ 0) تمثل مستقيمًا في المستوي، وحل الجملة هو إحداثيا نقطة تقاطع المستقيمين. فلحل x + y = 10 و 2x − y = 2 بيانيًا نرسم المستقيمين فنجدهما يتقاطعان في (4 ; 6).
وهناك ثلاث حالات للمستقيمين:
- يتقاطعان في نقطة: للجملة حل وحيد.
- متوازيان: لا حل للجملة. مثال
x + y = 3وx + y = 5لأن مجموع عددين لا يساوي 3 و 5 معًا. - منطبقان: للجملة عدد لا نهائي من الحلول.
حل مسألة كلامية
نتبع الخطوات الآتية: نختار المجهولين ونسميهما، ثم نترجم كل معلومة إلى معادلة، ثم نحل الجملة، ثم نتحقق ونجيب بجملة.
مثال. قلم وكراس يكلفان معًا 35 DA، وقلمان وثلاثة كراريس يكلفون 90 DA. ما ثمن كل منهما؟ نسمي x ثمن القلم و y ثمن الكراس: x + y = 35 و 2x + 3y = 90. من الأولى y = 35 − x، فنعوّض في الثانية: 2x + 105 − 3x = 90 أي −x = −15 ومنه x = 15 و y = 20. تحقق: 2 × 15 + 3 × 20 = 30 + 60 = 90. ثمن القلم 15 DA وثمن الكراس 20 DA.
أخطاء شائعة
- إيجاد مجهول واحد ونسيان الآخر.
- الخطأ في الإشارات عند الطرح أو الجمع، وخاصة حين تكون القيمة سالبة. ضع القوس عند التعويض.
- ضرب أحد طرفي المعادلة في عدد دون الطرف الآخر.
- عدم التحقق بالتعويض في المعادلتين معًا.
- كتابة الثنائية بترتيب خاطئ. الثنائية
(x ; y)أولهاx. - ترجمة المسألة إلى معادلات دون تسمية المجهولين، فيتضارب الفهم.
تمارين للتدرب
- حل
x + y = 7وx − y = 1. - حل
y = x + 2و2x + y = 11. - حل
2x + 3y = 13و4x − y = 5. - تذكرة الكبار
300 DAوالصغار150 DA، وثمن 5 تذاكر1050 DA. كم تذكرة لكل صنف؟ - لماذا لا تقبل الجملة
x + y = 3وx + y = 5حلًا؟
الحلول:
- بالجمع
2x = 8فـx = 4، ومنهy = 3. 2x + x + 2 = 11فـ3x = 9أيx = 3ثمy = 5.- من الثانية
y = 4x − 5فـ2x + 12x − 15 = 13أي14x = 28،x = 2،y = 3. - نسمي
aعدد تذاكر الكبار وcعدد تذاكر الصغار:a + c = 5و300a + 150c = 1050. من الأولىc = 5 − aفـ300a + 750 − 150a = 1050أي150a = 300،a = 2،c = 3. - لأن المجموع نفسه
x + yلا يساوي 3 و 5 في آن واحد، والمستقيمان المقابلان متوازيان.
الشرح المصوّر وملفات التمارين
لمن يفضل المتابعة بالصوت والصورة، يشرح الأستاذ أسامة في فيديو «حل جملة معادلتين بثلاث طرق» الدرس في نحو ثلاث عشرة دقيقة، فيحل جملتين بالطريقتين المقررتين في المنهاج: التعويض والجمع، ويبيّن متى تستعمل كل واحدة، ثم يضيف طريقة ثالثة سريعة.
وللتطبيق على تمارين حقيقية، اطلع على هذه الملفات في الموقع: