الإحصاء هو المقطع الأخير في برنامج الرياضيات للسنة الرابعة متوسط، وهو من أبسط المقاطع لأنه تطبيق مباشر لقواعد قليلة، لكنه من أكثرها فائدة في الحياة: من يقرأ جدولًا أو نتائج استبيان أو معدلات الفصل يحتاج إلى هذه الأدوات. والفكرة العامة أن لدينا قائمة طويلة من الأرقام نريد أن نختصرها في جدول ثم في أعداد قليلة تصف القائمة كلها. تعرض هذه الصفحة تنظيم المعطيات في جدول، ثم التكرار والتواتر، ثم التكرار المجمع، ثم المعطيات المبوّبة في فئات، ثم الوسط الحسابي والوسيط والمدى، وتنتهي بأخطاء متكررة وتمارين محلولة.
تنظيم المعطيات
جاء الطبيب إلى قسم من الأقسام ووزن التلاميذ فكانت الأوزان بالكيلوغرام لعشرة تلاميذ: 45 و 47 و 51 و 47 و 50 و 45 و 47 و 52 و 50 و 47. هذه قائمة معطيات خام. لننظمها في جدول يعد لكل قيمة عدد مرات ظهورها.
- التكرار
nلقيمة ما هو عدد مرات ظهورها في السلسلة. - التكرار الكلي
Nهو مجموع التكرارات، وهناN = 10.
| القيمة (kg) | 45 | 47 | 50 | 51 | 52 |
|---|---|---|---|---|---|
| التكرار | 2 | 4 | 2 | 1 | 1 |
التواتر
التواتر f لقيمة هو نسبة تكرارها إلى التكرار الكلي: f = n / N. ونعبر عنه كثيرًا بالنسبة المئوية. ففي مثالنا تواتر القيمة 47 هو 4 / 10 = 0.4 = 40%، وتواتر القيمة 45 هو 2 / 10 = 20%. ومجموع كل التواترات يساوي 1 أي 100%، وهذا تحقق مفيد من الحساب.
التكرار المجمع
نقسم المجال إلى مراحل لنعرف كم قيمة أقل من حد معين أو أكبر منه:
- التكرار المجمع الصاعد لقيمة هو مجموع تكرارات كل القيم التي أصغر منها أو تساويها.
- التكرار المجمع النازل لقيمة هو مجموع تكرارات كل القيم التي أكبر منها أو تساويها.
في مثالنا الصاعد: 2 ثم 6 ثم 8 ثم 9 ثم 10 للقيم 45 و 47 و 50 و 51 و 52 على الترتيب. وآخر تكرار مجمع صاعد يساوي دائمًا التكرار الكلي.
المعطيات المبوّبة في فئات
عندما تكون القيم كثيرة ومتباعدة نجمعها في فئات على شكل مجالات [a ; b[ فنعد كل فئة. مثال: أوزان 10 تلاميذ مبوبة: الفئة [40 ; 45[ تكرارها 3، والفئة [45 ; 50[ تكرارها 5، والفئة [50 ; 55[ تكرارها 2. مركز الفئة هو منتصفها: 42.5 و 47.5 و 52.5. ونحسب كل التكرارات المجمعة بالطريقة نفسها: الصاعد 3 ثم 8 ثم 10، والنازل 10 ثم 7 ثم 2.
الوسط الحسابي والمدى والوسيط
- الوسط الحسابي
mهو مجموع كل القيم مقسومًا على عددها. ومع الجدول:m = (Σ n × القيمة) / N. في مثالنا:m = (45 × 2 + 47 × 4 + 50 × 2 + 51 + 52) / 10 = 481 / 10 = 48.1 kg. وفي المعطيات المبوبة نستعمل مراكز الفئات:m = (3 × 42.5 + 5 × 47.5 + 2 × 52.5) / 10 = 470 / 10 = 47.0 kg. - المدى هو الفرق بين أكبر قيمة وأصغر قيمة:
52 − 45 = 7 kg. وهو يقيس مدى تشتت المعطيات. - الوسيط هو القيمة التي تقسم السلسلة المرتبة تصاعديًا إلى نصفين متساويين في العدد. نرتب القيم:
45 ; 45 ; 47 ; 47 ; 47 ; 47 ; 50 ; 50 ; 51 ; 52. عددها زوجي (10)، فالوسيط هو متوسط القيمتين الوسطيتين الخامسة والسادسة:(47 + 47) / 2 = 47 kg. وإذا كان العدد فرديًا فالوسيط هو القيمة التي في الوسط تمامًا.
وإذا أردت أن تختار بين الوسط والوسيط: الوسط يتأثر بالقيم الشاذة (كوزن تلميذ ثقيل جدًا)، والوسيط لا يتأثر بها.
أخطاء شائعة
- حساب الوسيط دون ترتيب السلسلة أولًا.
- الخلط بين التكرار (عدد مرات الظهور) والتواتر (النسبة إلى المجموع).
- الخطأ في الوسط من الجدول: ضرب كل قيمة في تكرارها ثم القسمة على التكرار الكلي، لا على عدد القيم المختلفة.
- نسيان مجموع التواترات يساوي 1، وهو وسيلة للتحقق.
- في الفئات استعمال أحد حدّي الفئة بدل مركزها عند حساب الوسط.
- كتابة المدى بالفرق بين أكبر فئة وأصغرها بدل الفرق بين أكبر وأصغر قيمة.
تمارين للتدرب
- السلسلة:
12 ; 15 ; 11 ; 15 ; 14 ; 15 ; 13. احسب الوسط والوسيط والمدى. - في قسم من 40 تلميذًا نال 10 منهم علامة أقل من 10. ما تواتر هذه الحالة؟
- فئات علامات:
[0 ; 5[تكرارها 4،[5 ; 10[تكرارها 6،[10 ; 15[تكرارها 8،[15 ; 20[تكرارها 2. احسب الوسط. - احسب التكرارات المجمعة الصاعدة للتمرين السابق.
- السلسلة:
3 ; 5 ; 7 ; 9. ما وسيطها؟
الحلول:
- المجموع
95والعدد 7، فالوسط95 / 7 ≈ 13.57. المرتبة:11 ; 12 ; 13 ; 14 ; 15 ; 15 ; 15فالوسيط 14 (الرابعة من سبع). المدى15 − 11 = 4. - التواتر
10 / 40 = 0.25 = 25%. - المراكز
2.5و7.5و12.5و17.5. الوسط(4 × 2.5 + 6 × 7.5 + 8 × 12.5 + 2 × 17.5) / 20 = (10 + 45 + 100 + 35) / 20 = 190 / 20 = 9.5. 4ثم10ثم18ثم20.- عدد القيم زوجي (4)، فالوسيط
(5 + 7) / 2 = 6.
الشرح المصوّر وملفات التمارين
لمن يفضل المتابعة بالصوت والصورة، يقدم الأستاذ سليم مختارة في فيديو «الإحصاء: التكرار والتواتر والتكرار المجمع الصاعد والنازل» المقطع الأخير من الرياضيات في نحو ست عشرة دقيقة، مبتدئًا بمثال طبيب يزن تلاميذ قسم، ثم يبني جدول التكرارات والتواترات.
وللتدرب على تمارين حقيقية، اطلع على هذه الملفات في الموقع: