الزاوية المحيطية والزاوية المركزية في الدائرة: التعريف والخواص والبرهان - السنة الثالثة متوسط

ننظر إلى ساعة جدارية دائرية فنلاحظ أن عقربيها يشكلان زاوية رأسها مركز الساعة. وإذا رسمنا زاوية رأسها على حافة الساعة ينتهي ضلعاها عند نقطتين من الحافة، حصلنا على زاوية من نوع آخر. هاتان الزاويتان، المركزية والمحيطية، ترتبطان بعلاقة بسيطة وجميلة تفيدنا في حل مسائل كثيرة في الدائرة. نعرّفهما أولًا ثم نبرهن العلاقة ونتعلم نتائجها.

الزاوية المركزية

الزاوية المركزية في دائرة هي الزاوية التي رأسها مركز الدائرة. وهي تحصر قوسًا من الدائرة بين ضلعيها.

فإذا كان ⁦O⁩ مركز دائرة و⁦A⁩ و⁦B⁩ نقطتين عليها، فإن الزاوية ⁦AOB⁩ زاوية مركزية تحصر القوس ⁦AB⁩. وقياس القوس يساوي قياس الزاوية المركزية التي تحصره.

الزاوية المحيطية

الزاوية المحيطية في دائرة هي الزاوية التي رأسها نقطة من الدائرة، وضلعاها يقطعان الدائرة. فإذا كانت ⁦M⁩ نقطة من الدائرة غير ⁦A⁩ و⁦B⁩، فالزاوية ⁦AMB⁩ زاوية محيطية تحصر القوس ⁦AB⁩.

وتحصر الزاوية المحيطية والمركزية القوس نفسه إذا كان ضلعا كل منهما يمران بالنقطتين ⁦A⁩ و⁦B⁩ نفسيهما.

العلاقة بين الزاويتين

الخاصية: قياس الزاوية المحيطية يساوي نصف قياس الزاوية المركزية التي تحصر معها القوس نفسه. أي إذا كان ⁦A⁩ و⁦B⁩ و⁦M⁩ على الدائرة و⁦O⁩ مركزها، فإن:

⁦AMB = (1/2) × AOB⁩

مثال 1: إذا كانت الزاوية المركزية ⁦AOB⁩ تساوي ⁦80°⁩ فإن الزاوية المحيطية ⁦AMB⁩ التي تحصر القوس نفسه تساوي ⁦40°⁩.

مثال 2: إذا كانت الزاوية المحيطية تساوي ⁦35°⁩ فإن الزاوية المركزية المقابلة تساوي ⁦70°⁩.

فكرة البرهان

نأخذ حالة يكون فيها المركز ⁦O⁩ على أحد ضلعي الزاوية المحيطية، ولتكن ⁦M⁩ و⁦O⁩ و⁦A⁩ على استقامة واحدة. نلاحظ أن المثلث ⁦OMB⁩ متساوي الساقين لأن ⁦OM = OB⁩ أنصاف أقطار. فالزاويتان عند القاعدة متساويتان، ولتكن كل منهما ⁦x⁩. والزاوية الخارجية ⁦AOB⁩ للمثلث ⁦OMB⁩ تساوي مجموع الزاويتين الداخليتين غير المجاورتين لها، أي ⁦2x⁩. وعليه ⁦AMB = x = (1/2) × AOB⁩. وتُستنتج الحالات الأخرى بالجمع أو الطرح من هذه الحالة.

النتائج المهمة

1. الزوايا المحيطية التي تحصر القوس نفسه متساوية. فإذا كانت ⁦M⁩ و⁦N⁩ نقطتين على الدائرة من الجهة نفسها بالنسبة إلى ⁦AB⁩ فإن ⁦AMB = ANB⁩، لأن كلًا منهما نصف الزاوية المركزية نفسها.

2. الزاوية المحيطية التي تحصر نصف دائرة قائمة. إذا كان ⁦AB⁩ قطرًا في الدائرة و⁦M⁩ نقطة منها غير ⁦A⁩ و⁦B⁩ فإن الزاوية ⁦AMB⁩ تساوي ⁦90°⁩، لأن الزاوية المركزية المقابلة مستقيمة وقياسها ⁦180°⁩.

3. عكس النتيجة السابقة. إذا كان المثلث ⁦ABM⁩ قائمًا في ⁦M⁩ فإن ⁦M⁩ تنتمي إلى الدائرة التي قطرها ⁦AB⁩، ومركزها منتصف الوتر ⁦AB⁩.

تطبيقات

المسألة 1: دائرة مركزها ⁦O⁩، والنقاط ⁦A⁩ و⁦B⁩ و⁦C⁩ عليها بحيث ⁦ACB = 50°⁩. أوجد ⁦AOB⁩. الحل: الزاويتان تحصران القوس ⁦AB⁩ نفسه، وعليه ⁦AOB = 2 × 50° = 100°⁩.

المسألة 2: ⁦[AB]⁩ قطر في دائرة، و⁦M⁩ نقطة منها حيث ⁦MAB = 35°⁩. أوجد ⁦MBA⁩. الحل: المثلث ⁦AMB⁩ قائم في ⁦M⁩، ومجموع زواياه ⁦180°⁩، فـ ⁦MBA = 90° - 35° = 55°⁩.

المسألة 3: في دائرة مركزها ⁦O⁩، النقطتان ⁦M⁩ و⁦N⁩ على القوس نفسه، و⁦AMB = 62°⁩. أوجد ⁦ANB⁩ و⁦AOB⁩. الحل: ⁦ANB = AMB = 62°⁩ لأنهما تحصران القوس نفسه، و⁦AOB = 2 × 62° = 124°⁩.

كيف تحدد الجهة التي تحصر القوس؟

انتبه أن القوس الذي تحصره الزاوية المحيطية هو القوس المقابل للرأس. فإن كانت ⁦M⁩ من جهة وكانت ⁦N⁩ من الجهة الأخرى من الوتر ⁦AB⁩، فالزاويتان ⁦AMB⁩ و⁦ANB⁩ متكاملتان، أي مجموعهما ⁦180°⁩، لا متساويتان. وهذه ملاحظة مهمة لأن كثيرًا من الأخطاء تحدث بإهمال الجهة.

أخطاء شائعة

• نسيان العامل ⁦1/2⁩ فتتساوى الزاويتان خطأً.
• المقارنة بين زاويتين لا تحصران القوس نفسه.
• القول إن كل زاوية رأسها نقطة من الدائرة محيطية، والصواب أن ضلعيها يجب أن يقطعا الدائرة.
• نسيان أن الزاوية على القطر قائمة، وهي أكثر النتائج استعمالًا في المسائل.

الزاوية المماسية بإيجاز

إذا كان المستقيم ⁦(d)⁩ مماسًا للدائرة في النقطة ⁦A⁩، و⁦B⁩ نقطة أخرى منها، فإن الزاوية بين المماس والوتر ⁦AB⁩ تساوي الزاوية المحيطية التي تحصر القوس ⁦AB⁩ نفسه. وهذه الخاصية تتوسع قليلًا عما درسناه، لكنها تؤكد أن الزاوية المحيطية هي الأساس في كل ما يتصل بزوايا الدائرة.

استعمال العلاقة في الرباعيات

الرباعي المرسوم في دائرة يكون كل زاويتين متقابلتين فيه متكاملتين، أي مجموعهما ⁦180°⁩. فإذا كانت ⁦A⁩ و⁦B⁩ و⁦C⁩ و⁦D⁩ على دائرة بهذا الترتيب فإن ⁦BAD + BCD = 180°⁩، لأن كلًا من الزاويتين تحصر قوسًا ومجموع القوسين الدائرة كلها، وكل زاوية محيطية نصف الزاوية المركزية المقابلة، فيكون المجموع نصف ⁦360°⁩.

تمارين

1. إذا كانت زاوية محيطية تساوي ⁦27°⁩ فما قياس الزاوية المركزية المقابلة؟
2. إذا كانت الزاوية المركزية ⁦AOB⁩ تساوي ⁦150°⁩ فما الزاوية المحيطية؟
3. ⁦[AB]⁩ قطر و⁦M⁩ على الدائرة، ما قياس ⁦AMB⁩؟
4. ⁦A⁩ و⁦B⁩ و⁦C⁩ و⁦D⁩ على الدائرة، و⁦ACB = 40°⁩، فما قياس ⁦ADB⁩ إذا كانت ⁦C⁩ و⁦D⁩ من الجهة نفسها؟

الحلول

1. ⁦2 × 27° = 54°⁩.
2. ⁦150° / 2 = 75°⁩.
3. ⁦90°⁩.
4. ⁦ADB = 40°⁩ لأنهما محيطيتان تحصران القوس نفسه.

وتلخيص الدرس في جملة: الزاوية المحيطية نصف المركزية المقابلة لنفس القوس، والمحيطيات المشتركة القوس متساوية، والمحيطية على القطر قائمة.