المضلعات المنتظمة والدوران: خواص المضلع المنتظم وزاوية الدوران ومركزه - السنة الثالثة متوسط

لو نظرت إلى قرص عسل النحل أو إلى بلاطة أرضية على شكل مسدس، لرأيت أضلاعًا متساوية وزوايا متساوية. تسمى هذه الأشكال مضلعات منتظمة، وهي ترتبط بالدوران ارتباطًا وثيقًا: إذا أدرت المضلع المنتظم حول مركزه بزاوية مناسبة عاد على نفسه تمامًا. وفي هذا الدرس نتعلم تعريف المضلع المنتظم وخواصه ثم الدوران الذي يحافظ عليه، وكيف نحسب زواياه.

المضلع المنتظم

المضلع المنتظم مضلع محدب جميع أضلاعه متساوية الطول وجميع زواياه متساوية القياس. أمثلة: المثلث المتقايس الأضلاع، والمربع، والخماسي المنتظم، والسداسي المنتظم.

مركز المضلع المنتظم هو مركز الدائرة التي تمر بجميع رؤوسه، وتسمى الدائرة المحيطة. وبعده عن كل رأس ثابت، ويسمى نصف قطر الدائرة المحيطة.

الزاوية المركزية

إذا وصلنا مركز المضلع المنتظم ذي ⁦n⁩ ضلعًا برأسين متتاليين حصلنا على زاوية مركزية قياسها:

⁦360° / n⁩

أمثلة: - المثلث المتقايس الأضلاع (⁦n = 3⁩): ⁦360° / 3 = 120°⁩. - المربع (⁦n = 4⁩): ⁦360° / 4 = 90°⁩. - الخماسي المنتظم (⁦n = 5⁩): ⁦360° / 5 = 72°⁩. - السداسي المنتظم (⁦n = 6⁩): ⁦360° / 6 = 60°⁩.

وتفيدنا هذه الزاوية في الإنشاء، فلرسم مضلع منتظم نرسم دائرة، ثم نقسمها إلى ⁦n⁩ أجزاء متساوية بزاوية ⁦360° / n⁩، ونصل بين نقط التقسيم.

الإنشاء

إنشاء سداسي منتظم: نرسم دائرة نصف قطرها ⁦r⁩، ثم نضع رأس الفرجار عند نقطة من الدائرة ونفتحه بمقدار ⁦r⁩ ونقطع الدائرة، ونكرر حول الدائرة، فنحصل على ست نقاط نصل بينها. السبب أن المثلث المتقايس الأضلاع الذي رأسه المركز وضلعه ⁦r⁩ له زاوية مركزية ⁦60°⁩.

إنشاء مثلث متقايس الأضلاع: نصل بين نقطة وأخرى متتالية من الست.

الدوران

الدوران تحويل نقطي في المستوي يعيّن بمركز وزاوية واتجاه. الدوران الذي مركزه ⁦O⁩ وزاويته ⁦α⁩ يحول النقطة ⁦M⁩ إلى النقطة ⁦M'⁩ بحيث ⁦OM = OM'⁩ والزاوية ⁦MOM'⁩ تساوي ⁦α⁩، والدوران في الاتجاه المباشر أو غير المباشر.

خواص الدوران: يحافظ على الأطوال والزوايا والمساحات والاستقامية. فصورة مثلث بدوران مثلث يطابقه.

الدوران والمضلع المنتظم

إذا أدرنا مضلعًا منتظمًا ذا ⁦n⁩ ضلعًا حول مركزه ⁦O⁩ بزاوية ⁦360° / n⁩ فإن صورته هي المضلع نفسه، إذ يحوّل كل رأس إلى الرأس الذي يليه. وكذلك بأي مضاعف لهذه الزاوية.

مثال: سداسي منتظم ⁦ABCDEF⁩ مركزه ⁦O⁩. الدوران الذي مركزه ⁦O⁩ وزاويته ⁦60°⁩ يحوّل ⁦A⁩ إلى ⁦B⁩ و⁦B⁩ إلى ⁦C⁩ وهكذا. والدوران بزاوية ⁦120°⁩ يحوّل ⁦A⁩ إلى ⁦C⁩. وبزاوية ⁦180°⁩ يحوّل ⁦A⁩ إلى ⁦D⁩، أي النقطة المقابلة قطريًا.

زاوية المضلع المنتظم

قياس الزاوية الداخلية للمضلع المنتظم ذي ⁦n⁩ ضلعًا هو:

⁦180° - 360° / n⁩

أمثلة: - المثلث: ⁦180° - 120° = 60°⁩. - المربع: ⁦180° - 90° = 90°⁩. - الخماسي: ⁦180° - 72° = 108°⁩. - السداسي: ⁦180° - 60° = 120°⁩.

ومجموع زوايا مضلع محدب ذي ⁦n⁩ ضلعًا هو ⁦(n - 2) × 180°⁩، ويمكن التحقق منه: لسداسي ⁦(6 - 2) × 180° = 720°⁩ وكل زاوية ⁦720° / 6 = 120°⁩.

تطبيقات

المسألة 1: خماسي منتظم مركزه ⁦O⁩. ما قياس الزاوية ⁦AOB⁩ حيث ⁦A⁩ و⁦B⁩ رأسان متتاليان؟ الحل: ⁦360° / 5 = 72°⁩.

المسألة 2: ما صورة الرأس ⁦A⁩ في مثمن منتظم ⁦ABCDEFGH⁩ بدوران مركزه المركز وزاويته ⁦90°⁩؟ الحل: الزاوية بين رأسين متتاليين ⁦360° / 8 = 45°⁩، فالدوران بـ ⁦90°⁩ يمر على رأسين، وصورة ⁦A⁩ هي ⁦C⁩.

المسألة 3: ما عدد أضلاع مضلع منتظم زاويته الداخلية ⁦144°⁩؟ الحل: ⁦180° - 360° / n = 144°⁩ فـ ⁦360° / n = 36°⁩ وعليه ⁦n = 10⁩، مضلع عشاري.

أخطاء شائعة

• القول إن كل مضلع متساوي الأضلاع منتظم، والصواب أن المعين متساوي الأضلاع ولكنه ليس منتظمًا لأن زواياه غير متساوية.
• القول إن كل مضلع متساوي الزوايا منتظم، والمستطيل متساوي الزوايا ولا يكون منتظمًا إلا إذا كان مربعًا.
• الخلط بين الزاوية المركزية والزاوية الداخلية.
• نسيان اتجاه الدوران عند تحديد الصورة.

المضلعات المنتظمة في الحياة

تظهر المضلعات المنتظمة في تصميم البلاط والزخارف الإسلامية وفي الأشكال الهندسية المعمارية. فالزخرفة التي تتكرر على شكل نجمة ثمانية تعتمد على مثمن منتظم، وبلاطات الحمّامات التقليدية تعتمد على السداسي لأنه يغطي المستوي دون فراغات. ومن الطريف أن المثلث المتقايس الأضلاع والمربع والسداسي هي المضلعات المنتظمة الوحيدة التي تغطي المستوي وحدها دون فراغ، لأن زاويتها الداخلية تقسم ⁦360°⁩ قسمة صحيحة.

الفرق بين المركز والرأس

كثيرًا ما يخلط التلاميذ بين مركز المضلع وأحد رؤوسه. المركز نقطة داخل المضلع تبعد عن الرؤوس كلها بعدًا متساويًا، أما الرأس فنقطة على محيط الشكل. ومن المفيد أن تتحقق في الرسم من أن ⁦OA = OB = OC⁩ لكل الرؤوس، فإن لم يتحقق ذلك فالنقطة ليست المركز.

تمارين

1. احسب الزاوية المركزية لمضلع منتظم عدد أضلاعه 9.
2. احسب الزاوية الداخلية لمثمن منتظم.
3. في سداسي منتظم ⁦ABCDEF⁩ ما صورة ⁦B⁩ بدوران زاويته ⁦180°⁩ ومركزه المركز؟
4. ما عدد أضلاع المضلع المنتظم الذي زاويته المركزية ⁦30°⁩؟

الحلول

1. ⁦360° / 9 = 40°⁩.
2. ⁦180° - 45° = 135°⁩.
3. صورة ⁦B⁩ هي ⁦E⁩، الرأس المقابل قطريًا.
4. ⁦360° / 30° = 12⁩، اثنا عشر ضلعًا.

ومن عرف أن الزاوية المركزية هي ⁦360° / n⁩ وأن الدوران بها ينقل كل رأس إلى الرأس الذي يليه، حلّ أغلب مسائل هذا الدرس.