في الفصل الثالث من السنة الثالثة متوسط يواصل التلميذ الحساب الحرفي بدرس مهم هو المساويات والمتباينات. وفائدتهما أنهما أساس حل معادلات الدرجة الأولى بمجهول أو بمجهولين، وأساس المتراجحات في السنة الرابعة متوسط، وطريق ترييض المشكلات (تحويل مشكلة إلى معادلة). وينقسم الدرس إلى جزأين: المساويات في الجزء الأول، والمتباينات في الثاني. تعرض الصفحة الجزأين بإيجاز، وتنتهي بتمارين.
ما المساواة؟ وما المتباينة؟
| المفهوم | المعنى | الرمز |
|---|---|---|
| المساواة | الطرف الأول يساوي الطرف الثاني | = |
| المتباينة | الطرف الأول أصغر أو أكبر من الثاني | < أو > |
الميزان
تصور ميزانا ذا كفتين:
- المساواة: الكفتان متوازنتان (مثلا كيلوغرام في كل كفة).
- لو زدنا كيلوغراما في كفة واحدة اختل التوازن، فيجب أن نزيد المقدار نفسه في الكفة الأخرى لنحافظ على التوازن.
وهذه الصورة تلخص خواص المساواة.
خواص المساواة
لتكن a = b. فإن:
- الجمع:
a + c = b + cلأي عددc. - الطرح:
a - c = b - c. - الضرب:
a × c = b × c. - القسمة:
a / c = b / cبشرطc ≠ 0.
أي أن المساواة تبقى صحيحة إذا أجرينا العملية نفسها على الطرفين.
استعمال الخواص لحل معادلة
حل x + 7 = 12.
- نطرح
7من الطرفين:x + 7 - 7 = 12 - 7. x = 5.
حل 3x = 18.
- نقسم الطرفين على
3:x = 6.
حل 2x - 5 = 9.
- نجمع
5:2x = 14. - نقسم على
2:x = 7.
معادلة بمجهولين
مثال: x + y = 10 وx - y = 2.
- نجمع المعادلتين:
2x = 12فـx = 6. - نعوض:
6 + y = 10فـy = 4.
المتباينات
سنتطرق إلى المتباينة في الجزء الثاني، وتتضمن خواص الترتيب:
| الخاصية | الصيغة |
|---|---|
| الجمع | إذا a < b فإن a + c < b + c |
| الضرب في عدد موجب | إذا a < b وc > 0 فإن a c < b c |
| الضرب في عدد سالب | إذا a < b وc < 0 فإن a c > b c (تنعكس) |
ترييض مشكلة
لتحويل مشكلة إلى معادلة نتبع الخطوات:
- اختيار المجهول (مثلا
x). - كتابة المعادلة بدلالته.
- حل المعادلة.
- التحقق والإجابة بجملة.
مثال: عدد إذا ضاعفناه ثم أضفنا إليه 3 حصلنا على 17. ما هذا العدد؟
- المعادلة:
2x + 3 = 17. 2x = 14فـx = 7.- الإجابة: العدد
7.
تمارين
- حل
x - 4 = 9. (x = 13) - حل
5x + 2 = 27. (x = 5) - حل
x + y = 8وx - y = 4. (x = 6وy = 2) - إذا
x < 3فماذا نقول عنx + 5؟ (x + 5 < 8)
نصائح
- طبق العملية نفسها على الطرفين دائما.
- تحقق من الحل بالتعويض في المعادلة.
- انتبه إلى عكس المتباينة عند الضرب في سالب.
أخطاء شائعة
- تطبيق العملية على طرف واحد.
- القسمة على صفر.
- نسيان عكس اتجاه المتباينة.
الشرح المصوّر
لمن يفضل المتابعة بالصوت والصورة، يقدم المعلم تاج الوفاء في فيديو «الحساب الحرفي: المساويات والمتباينات، السنة الثالثة متوسط، الجزء الأول» هذا الدرس في نحو عشر دقائق.