الهرم المنتظم ومخروط الدوران للسنة الثالثة متوسط: الوصف والمساحة والحجم والتصغير

يدرس تلميذ السنة الثالثة متوسط في فصل المجسمات مجسمين متشابهين في الفكرة: الهرم المنتظم ومخروط الدوران. كلاهما ينتهي برأس واحد ويرتكز على قاعدة واحدة، وكلاهما يطلب منك في الامتحان ثلاثة أشياء: وصفه، ثم حساب مساحته، ثم حساب حجمه. وفهم الوصف هو مفتاح التمارين كلها، لأن الخطأ في تحديد الارتفاع أو الراسم أو الموسط يفسد الحل من أوله. تعرض هذه الصفحة الدرس خطوة بخطوة مع أمثلة عددية محلولة.

أولا: الهرم المنتظم

التعريف

الهرم المنتظم مجسم قاعدته مضلع منتظم (أضلاعه متقايسة)، وأوجهه الجانبية مثلثات متقايسة الساقين تلتقي كلها في نقطة واحدة تسمى الرأس.

في المنهاج تكون القاعدة غالبا مربعا أو مثلثا متقايس الأضلاع، وقد تكون مضلعا خماسيا أو سداسيا في الأمثلة الموسعة.

عناصر الهرم

وهنا موضع الخلط الأكبر: الارتفاع والموسط قطعتان مختلفتان. الارتفاع يمر في داخل الهرم ويسقط على مركز القاعدة، أما الموسط فيقع على سطح الوجه الجانبي ويسقط على منتصف ضلع القاعدة.

مثال على عدد الأوجه

هرم قاعدته مربع له 5 أوجه: القاعدة المربعة وأربعة مثلثات جانبية، و5 رؤوس (الرأس وأربعة أركان)، و8 أحرف. وهرم قاعدته مثلث متقايس الأضلاع له 4 أوجه كلها مثلثات، ويسمى أيضا رباعي الوجوه.

العلاقة بين الارتفاع والموسط

لنأخذ هرما قاعدته مربع طول ضلعه ⁦a⁩. المثلث القائم المكون من:

• الارتفاع ⁦h⁩،
• نصف ضلع القاعدة ⁦a / 2⁩ (المسافة بين مركز القاعدة ومنتصف الضلع)،
• الموسط ⁦m⁩،

يحقق بنظرية فيثاغورس: ⁦m² = h² + (a / 2)²⁩.

هذه العلاقة هي أكثر ما يُطلب في الامتحان لأنها تتيح حساب أحد الطولين إذا علم الآخران.

مساحة الهرم المنتظم

المساحة الجانبية هي مجموع مساحات الأوجه الجانبية المتقايسة. مساحة كل وجه ⁦(a × m) / 2⁩، وعدد الأوجه ⁦n⁩، فتكون:

⁦المساحة الجانبية = (محيط القاعدة × الموسط) / 2⁩

والمساحة الكلية هي المساحة الجانبية مضافا إليها مساحة القاعدة:

⁦المساحة الكلية = المساحة الجانبية + مساحة القاعدة⁩

حجم الهرم

⁦الحجم = (مساحة القاعدة × الارتفاع) / 3⁩

أي أن الحجم ثلث حجم المنشور الذي له القاعدة والارتفاع نفسهما.

مثال محلول (1)

هرم منتظم قاعدته مربع طول ضلعه ⁦6 cm⁩ وارتفاعه ⁦4 cm⁩. احسب موسطه ثم مساحته الكلية وحجمه.

1. الموسط: ⁦m² = 4² + 3² = 16 + 9 = 25⁩، إذن ⁦m = 5 cm⁩.
2. محيط القاعدة: ⁦4 × 6 = 24 cm⁩.
3. المساحة الجانبية: ⁦(24 × 5) / 2 = 60 cm²⁩.
4. مساحة القاعدة: ⁦6 × 6 = 36 cm²⁩.
5. المساحة الكلية: ⁦60 + 36 = 96 cm²⁩.
6. الحجم: ⁦(36 × 4) / 3 = 48 cm³⁩.

مثال محلول (2): البحث عن الارتفاع

هرم قاعدته مربع طول ضلعه ⁦10 cm⁩، وموسطه ⁦13 cm⁩. احسب ارتفاعه وحجمه.

• نصف الضلع ⁦5 cm⁩، إذن ⁦h² = 13² - 5² = 169 - 25 = 144⁩، ومنه ⁦h = 12 cm⁩.
• الحجم: ⁦(100 × 12) / 3 = 400 cm³⁩.

ثانيا: مخروط الدوران

التعريف

مخروط الدوران مجسم ينتج عن دوران مثلث قائم دورة كاملة حول أحد ضلعيه القائمين.

القاعدة قرص دائري، والمنحنى الجانبي سطح يسمى السطح الجانبي.

عناصر المخروط

وفي المثلث القائم المولد للمخروط: الضلعان القائمان هما ⁦r⁩ و⁦h⁩، والوتر هو الراسم ⁦l⁩. فتكون العلاقة الأساسية:

⁦l² = r² + h²⁩

المساحة الجانبية والكلية

عند نشر السطح الجانبي للمخروط على مستو نحصل على قطاع دائري، وتعطى مساحته بالقانون:

⁦المساحة الجانبية = π × r × l⁩

والمساحة الكلية بإضافة القاعدة:

⁦المساحة الكلية = π × r × l + π × r²⁩، أي ⁦π × r × (l + r)⁩

حجم المخروط

⁦الحجم = (π × r² × h) / 3⁩

وهو ثلث حجم الأسطوانة التي لها القاعدة والارتفاع نفسهما، مثلما كان حجم الهرم ثلث حجم المنشور.

مثال محلول (3)

مخروط دوران نصف قطر قاعدته ⁦3 cm⁩ وارتفاعه ⁦4 cm⁩. احسب راسمه ومساحته الكلية وحجمه (خذ ⁦π ≈ 3.14⁩).

1. الراسم: ⁦l² = 9 + 16 = 25⁩، إذن ⁦l = 5 cm⁩.
2. المساحة الجانبية: ⁦3.14 × 3 × 5 = 47.1 cm²⁩.
3. مساحة القاعدة: ⁦3.14 × 9 = 28.26 cm²⁩.
4. المساحة الكلية: ⁦47.1 + 28.26 = 75.36 cm²⁩.
5. الحجم: ⁦(3.14 × 9 × 4) / 3 = 37.68 cm³⁩.

مثال محلول (4): من الحجم إلى الارتفاع

مخروط حجمه ⁦100.48 cm³⁩ ونصف قطر قاعدته ⁦4 cm⁩. ما ارتفاعه؟

⁦100.48 = (3.14 × 16 × h) / 3⁩، إذن ⁦h = (100.48 × 3) / 50.24 = 6 cm⁩.

ثالثا: تصغير الهرم والمخروط (المقطع الموازي للقاعدة)

إذا قطعنا هرما أو مخروطا بمستو يوازي القاعدة فإن المقطع يشبه القاعدة، ويكون الجزء العلوي هرما أو مخروطا مصغرا للأصلي بنسبة تصغير ⁦k⁩ حيث ⁦0 < k < 1⁩.

مثال محلول (5)

هرم ارتفاعه ⁦12 cm⁩ وحجمه ⁦324 cm³⁩. قطعناه بمستو يوازي القاعدة على ارتفاع ⁦8 cm⁩ من القاعدة. احسب حجم الهرم الصغير الأعلى.

• ارتفاع الهرم الصغير ⁦12 - 8 = 4 cm⁩، فنسبة التصغير ⁦k = 4 / 12 = 1 / 3⁩.
• حجمه ⁦324 × (1 / 3)³ = 324 / 27 = 12 cm³⁩.

رابعا: خطوات حل أي مسألة في المجسمات

1. ارسم المجسم وسمّ عناصره بالأرقام المعطاة.
2. حدد المثلث القائم المناسب (ارتفاع وموسط ونصف ضلع، أو ارتفاع وراسم ونصف قطر).
3. احسب الطول الناقص بفيثاغورس.
4. اختر القانون المناسب (جانبية أم كلية أم حجم).
5. اكتب الوحدة الصحيحة: ⁦cm²⁩ للمساحة و⁦cm³⁩ للحجم.
6. تحقق من منطقية النتيجة (الحجم يجب أن يكون أصغر من حجم المنشور المحيط).

أخطاء شائعة

• استعمال الموسط مكان الارتفاع في قانون الحجم، أو العكس في المساحة الجانبية.
• نسيان القسمة على 3 في حجم الهرم والمخروط.
• نسيان إضافة مساحة القاعدة عند طلب المساحة الكلية.
• الخلط بين الراسم ⁦l⁩ والارتفاع ⁦h⁩ في المخروط.
• كتابة المساحة بوحدة الحجم أو العكس.
• في التصغير: ضرب الحجم في ⁦k⁩ بدل ⁦k³⁩.

أسئلة للمراجعة

1. هرم منتظم قاعدته مثلث متقايس الأضلاع، كم وجها له؟ (4 أوجه)
2. مخروط راسمه ⁦10 cm⁩ ونصف قطره ⁦6 cm⁩، احسب ارتفاعه. (⁦8 cm⁩)
3. هرم حجمه ⁦90 cm³⁩ ومساحة قاعدته ⁦30 cm²⁩، ما ارتفاعه؟ (⁦9 cm⁩)
4. صغرنا مخروطا بنسبة ⁦1 / 2⁩، ماذا يحدث لحجمه؟ (يضرب في ⁦1 / 8⁩)

نصائح للامتحان

• احفظ المثلثات القائمة الشهيرة (3 و4 و5) و(5 و12 و13) و(6 و8 و10) لتسرع الحساب.
• اكتب القانون أولا ثم عوض فيه، فالمصحح يمنح علامة على القانون وحده.
• لا تقرب ⁦π⁩ إلا في السطر الأخير من الحل، وانتبه إلى ما يطلبه التمرين (قيمة دقيقة بدلالة ⁦π⁩ أم مقرّبة).

الشرح المصوّر

لمن يفضل المتابعة بالصوت والصورة، يشرح الأستاذ الناجح في فيديو «كل الأسئلة المحتملة في درسي الهرم ومخروط الدوران مع الشرح المفصل» هذا الدرس في نحو ست وثلاثين دقيقة مع تمارين مفصلة.