في اختبار الفصل الأول للسنة الرابعة متوسط يحتل القسم العددي نصف علامات مادة الرياضيات تقريبا، وأسئلته تتكرر في كل سنة بالأفكار نفسها. فمن أتقن الأفكار الثلاث الكبرى حقق علامة مرتفعة: القاسم المشترك الأكبر وتطبيقاته، والجذور التربيعية والعمليات عليها، وحل المعادلة من النمط x² = b. وتعرض الصفحة مراجعة شاملة لها مع أمثلة محلولة وطريقة منظمة، لأن الاختبار يمنح العلامة على المنهجية قبل النتيجة.
المحور الأول: القاسم المشترك الأكبر PGCD
التعريف
القاسم المشترك الأكبر لعددين طبيعيين هو أكبر عدد طبيعي يقسم كلا منهما.
نكتبه PGCD(a ; b).
الطريقة الأولى: خوارزمية الطرح المتتالي
نطرح الأصغر من الأكبر ونعيد على العددين الجديدين حتى نحصل على عددين متساويين، فهو الـPGCD.
مثال: PGCD(150 ; 60):
150 - 60 = 90، ثم90 - 60 = 30، ثم60 - 30 = 30.- نصل إلى
30و30، إذنPGCD(150 ; 60) = 30.
الطريقة الثانية: خوارزمية إقليدس (القسمة المتتالية)
نقسم الأكبر على الأصغر ونواصل بقسمة المقسوم عليه على الباقي حتى نجد باقيا معدوما، فآخر باق غير معدوم هو الـPGCD.
مثال: PGCD(252 ; 180):
252 = 180 × 1 + 72180 = 72 × 2 + 3672 = 36 × 2 + 0- آخر باق غير معدوم هو
36، إذنPGCD(252 ; 180) = 36.
التطبيقات
1. جعل الكسر غير قابل للاختزال
نقسم البسط والمقام على الـPGCD:
252 / 180 = (252 ÷ 36) / (180 ÷ 36) = 7 / 5.
وهو كسر غير قابل للاختزال لأن PGCD(7 ; 5) = 1.
2. مسائل التقسيم والتجميع
مسألة نموذجية: صانع يريد تقسيم لوحة مستطيلة طولها 252 cm وعرضها 180 cm إلى مربعات متقايسة أكبر ما يمكن بدون ضياع. أكبر ضلع للمربع هو PGCD = 36 cm. عدد المربعات (252 ÷ 36) × (180 ÷ 36) = 7 × 5 = 35 مربعا.
3. أعداد أولية فيما بينها
عددان أوليان فيما بينهما إذا كان PGCD = 1. مثال: PGCD(14 ; 15) = 1.
المحور الثاني: الجذور التربيعية
التعريف
الجذر التربيعي لعدد موجب
aهو العدد الموجب الذي مربعهa، ونرمز له√a.
بالتالي √a × √a = a و(√a)² = a.
أمثلة: √9 = 3 و√25 = 5 و√2 ≈ 1.414.
قواعد العمليات
| القاعدة | الصيغة | مثال |
|---|---|---|
| جداء | √a × √b = √(a × b) |
√2 × √8 = √16 = 4 |
| حاصل قسمة | √a / √b = √(a / b) |
√20 / √5 = √4 = 2 |
| مربع جذر | (√a)² = a |
(√7)² = 7 |
لا توجد قاعدة تسمح بكتابة √(a + b) بدلالة √a + √b.
تبسيط جذر
نحلل العدد داخل الجذر إلى جداء أحد عوامله مربع كامل:
√50 = √(25 × 2) = 5 √2.√72 = √(36 × 2) = 6 √2.√12 = √(4 × 3) = 2 √3.
جمع جذور وطرحها
نجمع الجذور المتشابهة (نفس العدد داخل الجذر) كما نجمع الحدود المتشابهة:
3√2 + 5√2 = 8√2.√50 - √8 = 5√2 - 2√2 = 3√2.√27 + √12 = 3√3 + 2√3 = 5√3.
إخراج الجذر من المقام (ترشيد المقام)
1 / √2 = √2 / 2، نضرب البسط والمقام في √2.
6 / √3 = (6√3) / 3 = 2√3.
مثال محلول متكامل
اكتب A = √45 + √20 - √5 على الشكل a√5.
√45 = 3√5و√20 = 2√5.A = 3√5 + 2√5 - √5 = 4√5.
المحور الثالث: حل المعادلة x² = b
الحالات
قيمة b |
الحلول |
|---|---|
b > 0 |
حلان: x = √b وx = -√b |
b = 0 |
حل وحيد: x = 0 |
b < 0 |
لا حل (لأن المربع لا يكون سالبا) |
أمثلة
x² = 25← الحلان5و-5.x² = 7← الحلان√7و-√7.x² = -4← لا حل.x² = 0← الحل0.
معادلات تؤول إلى النمط نفسه
x² - 49 = 0←x² = 49←x = 7أوx = -7.3x² = 27←x² = 9←x = 3أوx = -3.(x - 2)² = 16←x - 2 = 4أوx - 2 = -4←x = 6أوx = -2.
أسئلة اختبار نمطية
- احسب
PGCD(840 ; 396)وبسط الكسر396 / 840. (الـPGCD يساوي12والكسر33 / 70) - اكتب على الشكل
a√b:√98و√75. (7√2و5√3) - حل
2x² = 50. (x = 5أوx = -5) - بين أن
A = (√3 + 1)(√3 - 1)عدد طبيعي. (3 - 1 = 2)
أخطاء شائعة
- نسيان الحل السالب في المعادلة
x² = b. - القول إن
√(9 + 16) = 3 + 4، والصحيح√25 = 5. - التوقف في خوارزمية إقليدس عند الباقي الأخير المعدوم بدل آخر باق غير معدوم.
- الاكتفاء بتبسيط الكسر على قاسم غير الأكبر دون الوصول إلى غير القابل للاختزال.
- عدم تبسيط الجذر إلى أبسط شكل.
نصائح
- احفظ مربعات الأعداد من 1 إلى 20.
- اكتب مراحل خوارزمية إقليدس في سطور منظمة.
- حقق النتائج بتعويضها في المعادلة.
الشرح المصوّر
لمن يفضل المتابعة بالصوت والصورة، يقدم فيديو «مراجعة جميع دروس الأنشطة العددية للاختبار الأول، السنة الرابعة متوسط» هذه المراجعة.