يأتي درس الدوران في السنة الرابعة متوسط تتويجا لسلسلة التحويلات الهندسية التي بدأت بـالتناظر المحوري والتناظر المركزي والانسحاب. ومعه درس الزوايا المحيطية والمركزية في الدائرة، وهما درسان يعتمد عليهما كثير من تمارين شهادة التعليم المتوسط. تعرض الصفحة المفاهيم بالترتيب مع قواعد وأمثلة مفصلة.
تذكير بالتحويلات السابقة
| التحويل | ما يتغير | ما يبقى |
|---|---|---|
| التناظر المحوري | الاتجاه (الشكل ينقلب) | الأطوال والزوايا |
| التناظر المركزي | الاتجاه (نصف دورة) | الأطوال والزوايا |
| الانسحاب | الموضع | الأطوال والزوايا والاتجاه |
| الدوران | الموضع والاتجاه | الأطوال والزوايا |
والتناظر المركزي في الحقيقة حالة خاصة من الدوران زاويته 180 درجة.
أولا: الدوران
التعريف
الدوران تحويل هندسي يحدده مركز
Oوزاوية واتجاه. صورة نقطةMبالدوران هي النقطةM'التي تحقق:OM' = OMوالزاويةMOM'تساوي زاوية الدوران، في اتجاه الدوران المعطى.
كيف نعين صورة نقطة؟
- نرسم القطعة
[OM]. - نضع المنقلة على
Oونقيس الزاوية المطلوبة في الاتجاه المطلوب (عكس عقارب الساعة اتجاه موجب، وفي اتجاه عقاربها اتجاه سالب). - نرسم نصف مستقيم يمثل الاتجاه الجديد.
- نحدد عليه
M'بحيثOM' = OMبالفرجار.
مثال (1)
دوران مركزه O وزاويته 60 درجة في الاتجاه المباشر (عكس عقارب الساعة). صورة النقطة A حيث OA = 4 cm هي النقطة A' على بعد 4 cm من O وتكوّن الزاوية AOA' ستين درجة. فالمثلث OAA' متقايس الساقين وزاوية رأسه 60 درجة، إذن هو متقايس الأضلاع وطول AA' يساوي 4 cm أيضا.
صورة قطعة ومستقيم وشكل
الدوران يحافظ على الأطوال والزوايا والمساحات والتوازي والاستقامية. إذن:
- صورة قطعة هي قطعة لها الطول نفسه.
- صورة مثلث هو مثلث مقايس له.
- صورة دائرة هي دائرة لها نصف القطر نفسه، ومركزها صورة المركز.
- صورة مستقيم هو مستقيم.
ولرسم صورة شكل بالدوران نرسم صور رؤوسه واحدا واحدا ثم نصل بينها.
مثال (2)
المثلث ABC وصورته A'B'C' بالدوران الذي مركزه O وزاويته 90 درجة. ما العلاقة بين OA وOA'؟ الجواب: OA = OA' والزاوية AOA' قائمة، وكذلك لـB وC. لذلك يمكن تعيين مركز دوران مجهول بإنشاء واسطي القطعتين [AA'] و[BB'] فيتقاطعان في المركز.
المضلعات المنتظمة والدوران
كل مضلع منتظم عدد أضلاعه n ينطبق على نفسه بدوران مركزه مركز المضلع وزاويته 360 / n درجة.
| المضلع | قيمة الزاوية المركزية |
|---|---|
| مثلث متقايس الأضلاع | 120 درجة |
| مربع | 90 درجة |
| خماسي منتظم | 72 درجة |
| سداسي منتظم | 60 درجة |
| ثماني منتظم | 45 درجة |
ثانيا: الزاوية المركزية
الزاوية المركزية زاوية رأسها مركز الدائرة وضلعاها يمران بنقطتين من الدائرة.
القوس الذي تحصره هذه الزاوية يسمى القوس المقابل. وقيس القوس بالدرجات يساوي قيس الزاوية المركزية التي تحصره.
ثالثا: الزاوية المحيطية
الزاوية المحيطية زاوية رأسها نقطة على الدائرة وضلعاها يقطعان الدائرة.
العلاقة الأساسية
قيس الزاوية المحيطية يساوي نصف قيس الزاوية المركزية التي تحصر القوس نفسه.
أي إذا كانت الزاوية المركزية AOB تساوي 80 درجة، فكل زاوية محيطية ACB تحصر القوس AB نفسه تساوي 40 درجة.
نتائج مهمة
- كل الزوايا المحيطية التي تحصر القوس نفسه متساوية.
- الزاوية المحيطية التي تحصر نصف دائرة (قطرا) زاوية قائمة قيسها 90 درجة. وعليه فكل مثلث مرسوم في دائرة وأحد أضلاعه قطر هو مثلث قائم في الرأس المقابل للقطر.
- إذا كانت زاويتان محيطيتان تحصران قوسين متساويين فهما متساويتان.
مثال (3)
دائرة مركزها O، والنقطتان A وB عليها حيث الزاوية AOB تساوي 110 درجات. أوجد الزاوية المحيطية ACB حيث C على القوس الأكبر. الحل: ACB = 110 / 2 = 55 درجة.
مثال (4)
مثلث ABC مرسوم في دائرة قطرها [BC] والزاوية ACB تساوي 35 درجة. احسب الزاوية ABC. الحل: الزاوية BAC قائمة لأنها تحصر قطرا. ومجموع زوايا المثلث 180 درجة، فتكون ABC = 180 - 90 - 35 = 55 درجة.
مثال (5)
رباعي ABCD مرسوم في دائرة. إذا كانت الزاوية ABD تساوي 30 درجة فكم تساوي الزاوية ACD؟ كلتاهما تحصر القوس AD نفسه، فهما متساويتان: 30 درجة.
رابعا: حل تمارين الدوران والزوايا
طريقة التعليل المقبولة
اكتب في كل سطر الخاصية التي استعملتها: «الزاويتان محيطيتان وتحصران القوس نفسه إذن متساويتان»، «المثلث مرسوم في دائرة وأحد أضلاعه قطر إذن هو قائم». فالمصحح يقدر الاستدلال أكثر من النتيجة المجردة.
أخطاء شائعة
- الخلط بين المركزية والمحيطية: المركزية ضعف المحيطية وليس العكس.
- القول إن الزاويتين المحيطيتين متساويتان دون التأكد من أنهما تحصران القوس نفسه.
- استعمال المنقلة في الاتجاه الخاطئ عند رسم صورة نقطة بالدوران.
- نسيان أن الدوران يحافظ على المسافة إلى المركز.
- الاعتقاد أن الزاوية المحيطية التي تحصر قطرا تساوي 180 درجة، وهي 90 درجة.
تمارين للتدرب
- دائرة مركزها
Oوالزاوية المركزيةAOBتساوي 124 درجة. احسب الزاوية المحيطيةACB. (62 درجة) - أوجد صورة المثلث
ABCبدوران زاويته 90 درجة في الاتجاه المباشر، مركزهA. - سداسي منتظم مركزه
O، ما قيس الزاويةAOBلضلع[AB]؟ (60 درجة) - في الدائرة نفسها، هل
ACB = ADBإذا كانتCوDعلى القوس نفسه؟ (نعم، لأنهما تحصرانAB)
نصائح
- ارسم الدائرة بالفرجار واملأ الرسم بالقيم المعطاة قبل أي استدلال.
- اشطب الفرضيات كلما استعملتها لتتأكد من أنك استنفدتها.
- راجع دائما حاصل جمع زوايا المثلث (180 درجة) وزوايا الرباعي (360 درجة).
الشرح المصوّر
لمن يفضل المتابعة بالصوت والصورة، يقدم الأستاذ سليم مختارة في فيديو «درس الدوران والزاوية المحيطية والمركزية من الألف إلى الياء للسنة الرابعة متوسط» هذا الدرس في نحو ثلاث وعشرين دقيقة.