القوى والكتابة العلمية: قواعد الحساب على القوى وتحويل الأعداد - السنة الرابعة متوسط

حين تقرأ أن المسافة بين الأرض والشمس تساوي نحو مئة وخمسين مليون كيلومتر، يصعب أن تكتب الرقم أو تقارن به كل مرة بالأصفار. وحين تقرأ أن قطر ذرة الهيدروجين صغير جدًا، تحتاج أيضًا إلى كتابة مختصرة. هنا تأتي القوى والكتابة العلمية، وهما أداتان تتيحان اختصار الأعداد الكبيرة جدًا والصغيرة جدًا، وإجراء الحساب عليها بسهولة. نتعلم في هذا الدرس التعريف والقواعد الأساسية ثم نتدرب على الكتابة العلمية.

تعريف القوة

القوة هي جداء عدة عوامل متساوية. فإذا كان ⁦a⁩ عددًا و⁦n⁩ عددًا طبيعيًا غير معدوم، فإن ⁦a^n⁩ يمثل جداء ⁦n⁩ عاملًا كل منها يساوي ⁦a⁩. ويسمى ⁦a⁩ الأساس و⁦n⁩ الأس.

أمثلة: - ⁦2^3 = 2 × 2 × 2 = 8⁩ - ⁦5^2 = 25⁩ - ⁦10^4 = 10000⁩

وتسمى القوة الثانية «مربعًا» والقوة الثالثة «مكعبًا».

حالات خاصة: ⁦a^1 = a⁩، و⁦a^0 = 1⁩ إذا كان ⁦a⁩ غير معدوم.

الأس السالب

إذا كان الأس سالبًا فإن القوة تدل على مقلوب القوة الموجبة. فنكتب ⁦a^(-n) = 1 / a^n⁩ حيث ⁦a⁩ غير معدوم. أمثلة:

• ⁦2^(-3) = 1 / 2^3 = 1/8⁩
• ⁦10^(-2) = 1 / 100 = 0,01⁩
• ⁦10^(-5) = 0,00001⁩

وهذه الأسس السالبة هي ما يتيح كتابة الأعداد الصغيرة جدًا بإيجاز.

قواعد الحساب على القوى

من أجل عددين غير معدومين ⁦a⁩ و⁦b⁩ وعددين صحيحين ⁦m⁩ و⁦n⁩، تصح القواعد الآتية:

1. جداء قوتين لهما الأساس نفسه: ⁦a^m × a^n = a^(m+n)⁩. مثال: ⁦3^2 × 3^4 = 3^6⁩.
2. قسمة قوتين لهما الأساس نفسه: ⁦a^m / a^n = a^(m-n)⁩. مثال: ⁦5^7 / 5^3 = 5^4⁩.
3. قوة قوة: ⁦(a^m)^n = a^(m×n)⁩. مثال: ⁦(2^3)^2 = 2^6⁩.
4. قوة جداء: ⁦(a × b)^n = a^n × b^n⁩. مثال: ⁦(2 × 5)^3 = 2^3 × 5^3⁩.
5. قوة حاصل قسمة: ⁦(a / b)^n = a^n / b^n⁩.

وانتبه: القاعدة الأولى والثانية لا تصحان إذا اختلف الأساسان، فلا نستطيع جمع الأسس في ⁦2^3 × 5^2⁩. أما إذا اتحد الأس فنستعمل القاعدة الرابعة: ⁦2^3 × 5^3 = (2 × 5)^3 = 10^3⁩.

قوى العدد 10

هي الأكثر استعمالًا في الكتابة العلمية:

• ⁦10^1 = 10⁩
• ⁦10^2 = 100⁩
• ⁦10^3 = 1000⁩
• ⁦10^6 = 1000000⁩
• ⁦10^(-1) = 0,1⁩
• ⁦10^(-3) = 0,001⁩

وعدد الأصفار في القوة الموجبة يساوي الأس، وفي القوة السالبة يعبّر الأس عن عدد المراتب بعد الفاصلة.

الكتابة العلمية

تسمى الكتابة العلمية لعدد عشري موجب ⁦x⁩ الكتابة على الشكل ⁦a × 10^n⁩ حيث ⁦a⁩ عدد عشري بين 1 و10 (يشمل 1 ولا يشمل 10)، و⁦n⁩ عدد صحيح نسبي.

كيف نحصل عليها؟ 1. نحرك الفاصلة حتى يصبح ما قبلها رقمًا واحدًا غير معدوم. 2. نحسب عدد المراتب التي تحركت بها الفاصلة، فيكون هو قيمة ⁦n⁩. 3. إذا تحركت الفاصلة نحو اليسار فالأس موجب، وإن تحركت نحو اليمين فالأس سالب.

أمثلة: - ⁦45000 = 4,5 × 10^4⁩ - ⁦7300000 = 7,3 × 10^6⁩ - ⁦0,0032 = 3,2 × 10^(-3)⁩ - ⁦0,000045 = 4,5 × 10^(-5)⁩

حساب بالكتابة العلمية

لحساب جداء ⁦(3 × 10^4) × (2 × 10^5)⁩ نجمع الأعداد ونجمع الأسس: ⁦= 6 × 10^9⁩. ولحساب ⁦(8 × 10^6) / (4 × 10^2)⁩ نقسم الأعداد ونطرح الأسس: ⁦= 2 × 10^4⁩.

وقد ينتج عن الحساب عدد لا يقع بين 1 و10، فنعيد كتابته. فمثلًا ⁦(5 × 10^3) × (4 × 10^2) = 20 × 10^5⁩، لكن 20 ليس بين 1 و10، فنكتب ⁦20 × 10^5 = 2 × 10^6⁩.

أمثلة تطبيقية

المثال 1: المسافة بين الأرض والشمس نحو 150 مليون كيلومتر، أي ⁦150000000 km = 1,5 × 10^8 km⁩.

المثال 2: سمك ورقة نحو 0,0001 متر، أي ⁦1 × 10^(-4) m⁩.

المثال 3: بسّط ⁦(2^5 × 2^3) / 2^4⁩. نحسب البسط: ⁦2^(5+3) = 2^8⁩. ثم ⁦2^8 / 2^4 = 2^4 = 16⁩.

أخطاء شائعة

• القول إن ⁦a^0 = 0⁩، والصواب ⁦a^0 = 1⁩ إذا كان ⁦a⁩ غير معدوم.
• جمع الأسس عند جمع الأعداد: ⁦2^3 + 2^3⁩ ليس ⁦2^6⁩، وإنما هو ⁦8 + 8 = 16⁩.
• إهمال إشارة الأس عند تحريك الفاصلة.
• كتابة ⁦a⁩ في الكتابة العلمية أكبر من 10 أو أصغر من 1.

القوى والعمليات على الكسور

تنطبق القواعد نفسها على الكسور. فمثلًا: ⁦(2/3)^2 = 4/9⁩، و⁦(3/4)^(-2) = (4/3)^2 = 16/9⁩. والقاعدة العملية أن الأس السالب يعكس الكسر ثم يطبق الأس الموجب.

مثال محلول مركب

المسألة: اكتب بأبسط شكل ⁦A = (3^4 × 3^(-2)) / 3^3⁩. الحل: نجمع أسس البسط: ⁦3^(4-2) = 3^2⁩. ثم نقسم: ⁦3^2 / 3^3 = 3^(2-3) = 3^(-1) = 1/3⁩.

المسألة الثانية: ما الكتابة العلمية للعدد ⁦(6 × 10^8) / (3 × 10^(-2))⁩؟ الحل: نقسم الأعداد ⁦6 / 3 = 2⁩، ونطرح الأسس ⁦8 - (-2) = 10⁩، فالناتج ⁦2 × 10^10⁩.

استعمالات في العلوم

تستعمل الكتابة العلمية في الفيزياء والكيمياء والفلك، فسرعة الضوء نحو ⁦3 × 10^8 m/s⁩ وكتلة الإلكترون نحو ⁦9,1 × 10^(-31) kg⁩. وتسمح الآلات الحاسبة العلمية بعرض النتائج بهذا الشكل، فإذا ظهر على الشاشة ⁦E⁩ متبوعة برقم فهي تعني الأس. فمثلًا ⁦3.2E5⁩ تعني ⁦3,2 × 10^5⁩.

تمارين

1. احسب ⁦3^2 × 3^3⁩.
2. بسّط ⁦7^6 / 7^4⁩.
3. اكتب كتابة علمية: 560000.
4. اكتب كتابة علمية: 0,0072.
5. احسب ⁦(2 × 10^3) × (3 × 10^2)⁩.

الحلول

1. ⁦3^2 × 3^3 = 3^5 = 243⁩.
2. ⁦7^6 / 7^4 = 7^2 = 49⁩.
3. ⁦560000 = 5,6 × 10^5⁩.
4. ⁦0,0072 = 7,2 × 10^(-3)⁩.
5. ⁦(2 × 10^3) × (3 × 10^2) = 6 × 10^5⁩.

وإذا تذكرت أن الجداء يجمع الأسس والقسمة تطرحها، وأن الكتابة العلمية تعني عددًا بين 1 و10 في قوة للعدد 10، فقد أتقنت جوهر الدرس.