حين نريد أن نعرف كم لترًا من الماء يتسع داخل خزان على شكل مخروط، أو كم متر مكعب من الرمل في كومة على شكل هرم، نحتاج إلى حساب حجم المجسم. وفي السنة الرابعة متوسط نتعلم حساب حجم ثلاثة مجسمات أساسية: الهرم والمخروط الدوراني والكرة. نذكّر أولًا بالرموز ثم نعرض القوانين وأمثلة التطبيق.
تذكير بالحجوم المألوفة
- حجم المنشور القائم أو الأسطوانة:
V = B × hحيثBمساحة القاعدة وhالارتفاع. - حجم متوازي المستطيلات:
V = L × l × h. - حجم المكعب:
V = a^3.
وتبنى قوانين الهرم والمخروط على قانون المنشور والأسطوانة، فهما ثلث حجم المجسم المناسب بنفس القاعدة والارتفاع.
الهرم
الهرم مجسم قاعدته مضلع، ووجوهه الجانبية مثلثات تلتقي في رأس واحد. ويكون الهرم منتظمًا إذا كانت قاعدته مضلعًا منتظمًا وكان مسقط رأسه على مستوي القاعدة هو مركزها.
قانون الحجم: V = (1/3) × B × h حيث B مساحة القاعدة وh الارتفاع، أي المسافة العمودية بين الرأس ومستوي القاعدة.
مثال 1: هرم قاعدته مربعة طول ضلعها 6 cm وارتفاعه 9 cm.
- مساحة القاعدة: B = 6 × 6 = 36 cm².
- الحجم: V = (1/3) × 36 × 9 = 108 cm³.
المخروط الدوراني
المخروط الدوراني مجسم ناتج عن دوران مثلث قائم حول أحد ضلعيه القائمين. قاعدته قرص نصف قطره r، وارتفاعه h، وطول مولده l حيث l^2 = r^2 + h^2 بحسب خاصية فيثاغورس.
قانون الحجم: V = (1/3) × π × r^2 × h.
المساحة الجانبية: A = π × r × l.
مثال 2: مخروط نصف قطر قاعدته 3 cm وارتفاعه 4 cm.
- مولده: l = √(3^2 + 4^2) = √25 = 5 cm.
- حجمه: V = (1/3) × π × 9 × 4 = 12π cm³ ≈ 37,7 cm³.
- مساحته الجانبية: A = π × 3 × 5 = 15π cm².
الكرة
الكرة مجموعة النقط من الفضاء التي تبعد عن نقطة ثابتة (المركز) مسافة ثابتة r هي نصف القطر.
قانون الحجم: V = (4/3) × π × r^3.
مساحة سطح الكرة: A = 4 × π × r^2.
مثال 3: كرة نصف قطرها 3 cm.
- حجمها: V = (4/3) × π × 27 = 36π cm³ ≈ 113,1 cm³.
- مساحة سطحها: A = 4 × π × 9 = 36π cm² ≈ 113,1 cm².
تحويل الوحدات
لتحويل الحجم إلى اللترات نتذكر أن 1 dm³ = 1 L و1 cm³ = 1 mL. فإذا كان حجم خزان 2500 cm³ فهو يتسع لـ 2500 mL أي 2,5 L. وفي المساحات تذكّر أن 1 m² = 10000 cm²، وفي الحجوم أن 1 m³ = 1000000 cm³.
تطبيق مركب
المسألة: خزان على شكل مخروط ارتفاعه 12 dm ونصف قطر قاعدته 5 dm. كم لترًا من الماء يتسع؟
الحل:
- نحسب الحجم: V = (1/3) × π × 5^2 × 12 = 100π dm³.
- نقرّب: V ≈ 314,16 dm³.
- بما أن 1 dm³ = 1 L فسعته نحو 314,2 L.
تنبيهات في القوانين
- استعمل الارتفاع العمودي
hوليس طول المولد في حجم المخروط. - في الكرة استعمل نصف القطر لا القطر، فإن أُعطي القطر فاقسمه على 2.
- الأس 3 في الكرة يطبق على نصف القطر وحده:
r^3. - انتبه إلى وحدات الأطوال، فإذا اختلفت وحّدها قبل الحساب.
أخطاء شائعة
- نسيان المعامل
1/3في حجم الهرم والمخروط. - استعمال القطر بدل نصف القطر.
- الخلط بين حجم المخروط ومساحته الجانبية.
- كتابة الحجم بوحدة مربعة أو المساحة بوحدة مكعبة.
ربط الحجوم بالحياة
تظهر هذه المجسمات في الحياة اليومية: المخروط في قمع الأواني وفي قبعات الأعياد، والهرم في الأهرامات وفي بعض الأسقف، والكرة في كرة القدم وفي مصابيح الزينة. وحين نحسب الحجم نعرف السعة، وحين نحسب المساحة نعرف كمية المادة اللازمة لصنع الغلاف أو لطلائه.
تغيير الأبعاد وأثره على الحجم
إذا ضربنا جميع أبعاد مجسم في العدد k فإن الحجم يضرب في k^3 والمساحة تضرب في k^2. فمثلًا إذا ضاعفنا نصف قطر كرة فإن حجمها يصير ثمانية أضعاف، لأن 2^3 = 8، ومساحتها أربعة أضعاف لأن 2^2 = 4. وهذه الخاصية تفسر لماذا تتضاعف كمية المادة بسرعة عند تكبير الأشياء، وتتكرر في مسائل التكبير والتصغير.
مثال: مخروط حجمه 10 cm³ كبّرنا أبعاده بنسبة 3. فحجمه الجديد 10 × 3^3 = 270 cm³.
تمارين
- احسب حجم هرم قاعدته مستطيل بعداه 4 cm و5 cm وارتفاعه 6 cm.
- احسب حجم مخروط نصف قطره 6 cm وارتفاعه 10 cm (اترك π).
- احسب حجم كرة قطرها 10 cm.
- احسب المساحة الجانبية لمخروط نصف قطره 4 cm ومولده 7 cm.
الحلول
B = 4 × 5 = 20 cm²، فـV = (1/3) × 20 × 6 = 40 cm³.V = (1/3) × π × 36 × 10 = 120π cm³.- نصف القطر 5، فـ
V = (4/3) × π × 125 = (500/3)π ≈ 523,6 cm³. A = π × 4 × 7 = 28π cm² ≈ 88 cm².
ويكفي أن تتذكر أن الهرم والمخروط هما ثلث الحجم المحيط بهما، وأن الكرة تحتاج إلى نصف القطر في قوة ثالثة، لتتجنب أغلب الأخطاء.