يقف التاجر في السوق ويقول: «كيلوغرام واحد من البصل بأربعين دينارًا». فكم سندفع إذا اشترينا خمسة كيلوغرامات؟ وكم كيلوغرامًا نشتري بـ 400 دينار؟ نحن هنا في وضعية تناسبية: كلما زادت الكمية زاد الثمن بنفس النسبة. وهذا الدرس في الرياضيات للسنة الرابعة ابتدائي يعلم التلميذ كيف يملأ جدولًا يعبر عن تناسبية بطريقة سهلة وواضحة. تعرض هذه الصفحة معنى التناسبية، ثم معامل التناسبية، ثم الوضعية الأولى (المعامل غير موجود)، ثم الوضعية الثانية (المعامل موجود)، ثم أمثلة، وتنتهي بأخطاء شائعة وتمارين محلولة.
ما التناسبية؟
نقول إن مقدارين متناسبان إذا كان الانتقال من قيم أحدهما إلى قيم الآخر يتم بالضرب في العدد نفسه دائمًا. ونمثل ذلك في جدول التناسبية ذي سطرين: سطر للوزن مثلًا وسطر للثمن.
معامل التناسبية
معامل التناسبية هو قيمة الواحدة، أي ما يقابل الواحد من المقدار الأول في المقدار الثاني. في مثال البصل: معامل التناسبية هو ثمن كيلوغرام واحد.
وهو العدد الذي نضرب فيه قيم السطر الأول لنحصل على قيم السطر الثاني.
الوضعية الأولى: معامل التناسبية غير موجود في المعطيات
هذه حالة تتطلب إيجاد المعامل أولًا. نتبع الخطوات:
- نبحث عن عمودين مكتملين في الجدول، أي خانتين متقابلتين فيهما رقمان معلومان.
- نقسم الثمن على الوزن لنجد معامل التناسبية.
- نستعمل المعامل لحساب القيم المفقودة.
المثال
يبيع بائع الخضر البصل. أتمم الجدول:
| الوزن (كلغ) | 5 | 6 | 15 | 25 |
|---|---|---|---|---|
| الثمن (دج) | ؟ | 240 | ؟ | ؟ |
الحل:
- العمود المكتمل:
6كلغ ثمنها240دج. - معامل التناسبية هو
240 ÷ 6 = 40. أي أن ثمن كيلوغرام واحد هو40دج. - ثمن
5كلغ:5 × 40 = 200دج. - ثمن
15كلغ:15 × 40 = 600دج. - ثمن
25كلغ:25 × 40 = 1000دج.
الجدول بعد إتمامه:
| الوزن (كلغ) | 5 | 6 | 15 | 25 |
|---|---|---|---|---|
| الثمن (دج) | 200 | 240 | 600 | 1000 |
الوضعية الثانية: معامل التناسبية موجود
إذا أعطي في المسألة ثمن الواحدة (أو يظهر في الجدول عمود الواحد) فنستعمله مباشرة.
قيمة مفقودة في السطر الثاني
الثمن يساوي الوزن مضروبًا في المعامل.
مثال: ثمن كيلوغرام التفاح 150 دج. ثمن 4 كلغ: 4 × 150 = 600 دج.
قيمة مفقودة في السطر الأول
الوزن يساوي الثمن مقسومًا على المعامل.
مثال: بـ 720 دج من البصل (بسعر 40 دج للكيلوغرام) نشتري 720 ÷ 40 = 18 كلغ.
طريقة أخرى: التناسب بين الأعمدة
يمكن حساب قيمة بطريقة الضرب في عدد أو القسمة على عدد:
- إذا كان
6كلغ ثمنها240دج، فـ12كلغ (ضعف الوزن) ثمنها480دج (ضعف الثمن). - و
3كلغ (نصف الوزن) ثمنها120دج (نصف الثمن).
وهذه الطريقة سريعة عندما تكون الأعداد مضاعفات بعضها.
متى تكون الوضعية تناسبية؟
- إذا ضاعفنا المقدار الأول ضاعف الثاني.
- إذا قسمنا الأول على عدد انقسم الثاني على العدد نفسه.
- وإذا كان معامل التناسبية هو نفسه في كل الأعمدة (خارج قسمة الثمن على الوزن ثابت).
مثال لا تناسبية: عمر الطفل ووزنه. فعمر الطفل إذا تضاعف لا يتضاعف وزنه.
خطوات حل مسألة تناسبية
- ارسم الجدول وضع فيه المعطيات والمجهولات.
- حدد هل معامل التناسبية موجود؟
- إن لم يكن، ابحث عن عمود مكتمل واقسم لإيجاده.
- احسب القيم المفقودة بالضرب أو القسمة.
- تحقق بأن خارج القسمة في كل عمود هو نفسه.
أخطاء شائعة
- قسمة الوزن على الثمن بدل الثمن على الوزن، فيخرج معامل خاطئ.
- نسيان البحث عن عمود مكتمل أولًا.
- الخلط بين الضرب والقسمة عند البحث عن قيمة السطر الأول.
- عدم التحقق من النتائج.
- اعتبار كل مقدارين متناسبين.
- نسيان وحدة القياس في الجواب.
تمارين للتدرب
- دفتر ثمنه
30دج. أتمم جدول ثمن2و5و10دفاتر. 4كلغ من التفاح بـ600دج. ما ثمن7كلغ؟ وكم كلغ نشتري بـ1500دج؟
الحلول:
60و150و300دج.- معامل التناسبية
600 ÷ 4 = 150دج للكيلوغرام. ثمن7كلغ:7 × 150 = 1050دج. ونشتري بـ1500دج:1500 ÷ 150 = 10كلغ.
الشرح المصوّر
لمن يفضل المتابعة بالصوت والصورة، يقدم الأستاذ زيوش محمد الأمين في فيديو «شرح درس التناسبية للسنة الرابعة ابتدائي: طريقة حل جدول التناسبية» هذا الدرس في نحو ثلاث عشرة دقيقة، ويعتمد وضعيتين: الأولى أن معامل التناسبية غير موجود في المعطيات، ويستعمل مثال بائع الخضر.