حتى الآن كانت مجموعة الأعداد الحقيقية ℝ أكبر مجموعة تعرفها، وكل معادلة تحل داخلها. لكن المعادلة x² = −1 لا حل لها في ℝ لأن مربع عدد حقيقي لا يكون سالبًا. الأعداد المركبة وُجدت لتجعل لهذه المعادلة حلًا، فتتسع مجموعة الأعداد إلى مجموعة جديدة نرمز لها بـ ℂ وتحتوي ℝ. تشرح هذه الصفحة الدرس بترتيب: الشكل الجبري، ثم المرافق والطويلة، ثم العمدة والشكلان المثلثي والأسي، ثم المعادلات والتفسير الهندسي، وتنتهي بأخطاء متكررة وتمارين محلولة.
الشكل الجبري
نعرّف عددًا جديدًا i يحقق i² = −1. وكل عدد مركب z يُكتب بصورة وحيدة على الشكل الجبري:
z = x + i y حيث x و y عددان حقيقيان
نسمي x الجزء الحقيقي ونكتب Re(z) = x، ونسمي y الجزء التخيلي ونكتب Im(z) = y. انتبه: الجزء التخيلي هو y وليس i y. ويكون العدد حقيقيًا إذا كان y = 0، وتخيليًا صرفًا إذا كان x = 0. وعددان مركبان متساويان إذا تساوى جزآهما الحقيقيان وجزآهما التخيليان.
نجري الجمع والضرب كما في كثيرات الحدود مع استبدال i² بـ −1:
(2 + 3i)(1 − i) = 2 − 2i + 3i − 3i² = 2 + i + 3 = 5 + i.
المرافق
مرافق العدد z = x + i y هو z̄ = x − i y. ومن خواصه:
z + z̄ = 2xوz − z̄ = 2 i y. فـzحقيقي إذا وفقط إذا كانz = z̄.z × z̄ = x² + y²، وهو عدد حقيقي موجب.- مرافق المجموع هو مجموع المرافقين، ومرافق الجداء هو جداء المرافقين، ومرافق خارج القسمة هو خارج قسمة المرافقين.
وبفضل الخاصية الثانية نقسم عددين مركبين بضرب البسط والمقام في مرافق المقام:
(1 + 2i) / (3 − i) = (1 + 2i)(3 + i) / ((3 − i)(3 + i)) = (3 + i + 6i + 2i²) / 10 = (1 + 7i) / 10 = 0.1 + 0.7i.
الطويلة
طويلة العدد z = x + i y هي |z| = √(x² + y²) = √(z × z̄). وهي عدد حقيقي موجب لا ينعدم إلا إذا كان z = 0. من خواصها:
|z₁ × z₂| = |z₁| × |z₂|و|z₁ / z₂| = |z₁| / |z₂|.|zⁿ| = |z|ⁿ.|z₁ + z₂| ≤ |z₁| + |z₂|. وهذه المتباينة لا تتحول إلى مساواة في الحالة العامة.
التفسير الهندسي
نختار معلمًا متعامدًا ومتجانسًا. العدد z = x + i y هو لاحقة النقطة M(x ; y) والشعاع OM. وطويلة z هي المسافة OM. وإذا كانت A و B نقطتين لاحقتاهما z_A و z_B فإن |z_B − z_A| = AB.
العمدة
عمدة العدد المركب غير المعدوم z هي كل زاوية θ تحقق:
cos θ = x / |z| و sin θ = y / |z|
ونكتب arg(z) = θ مقدّرًا بالراديان وبترديد 2π، أي بالإضافة إلى مضاعف صحيح لـ 2π. وللعمدة خواص مشابهة لخواص اللوغاريتم:
arg(z₁ × z₂) = arg(z₁) + arg(z₂).arg(z₁ / z₂) = arg(z₁) − arg(z₂).arg(z̄) = −arg(z)وarg(1 / z) = −arg(z).arg(zⁿ) = n × arg(z).
الشكلان المثلثي والأسي
إذا كانت r = |z| و θ = arg(z) فإن:
- الشكل المثلثي:
z = r (cos θ + i sin θ). - الشكل الأسي:
z = r e^(iθ)بتعريفe^(iθ) = cos θ + i sin θ(صيغة أولر).
وتفيد صيغة موافر في الأسس: (cos θ + i sin θ)ⁿ = cos(nθ) + i sin(nθ)، أي (e^(iθ))ⁿ = e^(inθ). ويجعل الشكل الأسي الضرب والقسمة والقوى عمليات سهلة: نضرب الطويلات ونجمع العمدات.
مثال 1. z = 1 + i. الطويلة √(1 + 1) = √2. و cos θ = sin θ = 1 / √2 فـ θ = π / 4. إذن z = √2 e^(iπ/4). ومنه z⁸ = (√2)⁸ e^(i 2π) = 16.
مثال 2. z = −1 + i√3. الطويلة √(1 + 3) = 2. و cos θ = −1 / 2 و sin θ = √3 / 2 فـ θ = 2π / 3. إذن z = 2 e^(i 2π/3).
معادلة من الدرجة الثانية في ℂ
للمعادلة a z² + b z + c = 0 بمعاملات حقيقية و Δ = b² − 4ac:
- إذا كان
Δ > 0فلها حلان حقيقيان(−b ± √Δ) / (2a). - إذا كان
Δ = 0فلها حل مضاعف−b / (2a). - إذا كان
Δ < 0فلها حلان مركبان مترافقان(−b ± i √(−Δ)) / (2a).
مثال: z² − 2z + 5 = 0. Δ = 4 − 20 = −16، إذن z = (2 ± 4i) / 2 = 1 ± 2i.
التحويلات النقطية
بدلالة اللواحق، ومع ω لاحقة نقطة ثابتة:
- الانسحاب الذي شعاعه لاحقته
b:z' = z + b. - التحاكي الذي مركزه
ωونسبتهk(حقيقي غير معدوم):z' − ω = k (z − ω). - الدوران الذي مركزه
ωوزاويتهθ:z' − ω = e^(iθ) (z − ω).
وتفيد النسبة (z_C − z_A) / (z_B − z_A) في الهندسة: إن كانت حقيقية فالنقاط A و B و C على استقامة واحدة، وإن كانت تخيلية صرفة فالمستقيمان AB و AC متعامدان.
أخطاء شائعة
- نسيان أن
i² = −1عند الضرب، فتبقىi²في النتيجة. - القول إن
Im(z) = i y. الجزء التخيلي عدد حقيقي هوy. - حساب الطويلة بقولك
√(x² + (i y)²). الصحيح√(x² + y²). - حساب العمدة بـ
arctan(y / x)دون النظر إلى إشارتيxوy. من أجلx < 0تحتاج إلى تصحيح بإضافةπ، فالأفضل أن تحسبcos θوsin θمعًا. - كتابة
|z₁ + z₂| = |z₁| + |z₂|. - ترك
iفي المقام دون ضرب البسط والمقام في المرافق. - كتابة العمدة مرة بالدرجات ومرة بالراديان داخل المسألة نفسها.
تمارين للتدرب
- احسب
(3 − 2i)(1 + i). - أوجد طويلة ومرافق
z = 3 − 4i. - اكتب
z = √3 − iعلى الشكل الأسي. - حل في
ℂالمعادلةz² + 4 = 0. - احسب
(1 + i)⁴.
الحلول:
3 + 3i − 2i − 2i² = 3 + i + 2 = 5 + i.|z| = √(9 + 16) = 5، وz̄ = 3 + 4i.|z| = √(3 + 1) = 2، وcos θ = √3 / 2وsin θ = −1 / 2فـθ = −π / 6. إذنz = 2 e^(−iπ/6).z² = −4 = (2i)²فالحلانz = 2iوz = −2i.(1 + i)² = 1 + 2i + i² = 2i، ثم(2i)² = −4.
الشرح المصوّر وملفات التمارين
لمن يفضل المتابعة بالصوت والصورة، يقدم الأستاذ جوفر في فيديو «الأعداد المركبة من الصفر» المحور في نحو اثنتين وعشرين دقيقة، ويبدأ بتقديم مجموعة الأعداد المركبة بوصفها مجموعة أوسع من مجموعة الأعداد الحقيقية، ثم الشكل الجبري للعدد المركب.
وللتطبيق على مواضيع حقيقية، اطلع على هذه الملفات في الموقع: