المسطرة التي تهتز على حافة الطاولة، والكرسي الهزاز، ونابض يحمل ثقلًا يتحرك صعودًا ونزولًا، كلها أمثلة على الاهتزازات الميكانيكية. وأبسط جملة تحقق ذلك هي النواس المرن، وهو الدرس الأول في وحدة النواسات من برنامج السنة الثالثة ثانوي. وفيه ستجد معادلة تفاضلية مألوفة وحلًا جيبيًا بدور محدد. تعرض هذه الصفحة تركيب النواس، ثم قوة الإرجاع، ثم المعادلة التفاضلية، ثم حلها ودلالات الثوابت، ثم الدور الذاتي، ثم الطاقة، ثم مثالًا عدديًا، وتنتهي بأخطاء متكررة وتمارين.
تركيب النواس المرن
يتألف من:
- نابض مرن حلقاته متباعدة وكتلته مهملة، وثابت صلابته
kبوحدةN/m. - جسم صلب كتلته
mمعلق بالنابض أو مثبت به.
ويتحرك الجسم حول وضع توازنه ضمن حدود مرونة النابض. في النواس المرن الأفقي نهمل الاحتكاك فيكون الثقل معدلًا بالرد الناظمي للسطح، فتبقى قوة وحيدة تعمل في المحور الأفقي هي قوة النابض.
قوة الإرجاع
يؤثر النابض على الجسم بقوتين متساويتين في الشدة ومتعاكستين في الجهة: قوة الشد التي نطبقها نحن، وقوة التوتر التي يطبقها النابض لإعادة الجسم إلى وضعه الأصلي. فقوة الإرجاع تعمل دائمًا نحو وضع التوازن، وتعطى بقانون هوك:
F = −k × x
حيث x فاصلة الجسم عن وضع التوازن (المبدأ). فإذا كان x > 0 فالقوة سالبة (نحو المبدأ)، وإذا كان x < 0 فالقوة موجبة.
المعادلة التفاضلية
نطبق القانون الثاني لنيوتن على الجسم في مرجع غاليلي، مع محور الحركة Ox:
−k × x = m × a
وبما أن التسارع هو المشتق الثاني للفاصلة a = x'':
m × x'' + k × x = 0
أي:
x'' + (k ÷ m) × x = 0
وهي معادلة تفاضلية من الرتبة الثانية. نضع ω₀² = k ÷ m فتصبح:
x'' + ω₀² × x = 0
الحل
حل هذه المعادلة من الشكل الجيبي:
x(t) = X_m × cos(ω₀ × t + φ)
حيث:
X_m: السعة، أكبر ابتعاد عن وضع التوازن (بالمتر).ω₀: النبض الذاتي،ω₀ = √(k ÷ m)بالراديان على الثانية.φ: الطور الابتدائي (بالراديان)، يتعلق بشروط البداية.
والثوابت X_m وφ تحددهما الشروط الابتدائية (موضع الجسم وسرعته عند t = 0).
الدور الذاتي والتواتر الذاتي
الدور الذاتي T₀ هو المدة الزمنية لاهتزازة كاملة:
T₀ = 2π ÷ ω₀ = 2π × √(m ÷ k)
ووحدته الثانية s. والتواتر الذاتي f₀ = 1 ÷ T₀ بالهرتز Hz.
وملاحظات مهمة:
- الدور لا يتعلق بالسعة
X_m، فهو نفسه مهما كان الابتعاد الأولي. - يزداد بزيادة الكتلة
mوينقص بزيادة ثابت الصلابةk. - يسمى ذاتيًا لأنه خاصية للجملة نفسها، لا للشروط الابتدائية.
الطاقة
الطاقة الميكانيكية للجملة المكونة من الجسم والنابض:
E_m = E_c + E_pe = ½ × m × v² + ½ × k × x²
وفي غياب الاحتكاك تبقى ثابتة:
E_m = ½ × k × X_m²
وتتحول الطاقة دوريًا: عند الابتعاد الأعظمي x = ±X_m تكون السرعة معدومة والطاقة كلها كامنة مرونية، وعند المرور بوضع التوازن x = 0 تكون الطاقة كلها حركية والسرعة أعظمية v_max = ω₀ × X_m.
مثال عددي
جسم كتلته m = 0.1 kg معلق بنابض ثابت صلابته k = 40 N/m، أبعدناه بمقدار X_m = 0.05 m ثم تركناه بدون سرعة ابتدائية.
- النبض الذاتي:
ω₀ = √(40 ÷ 0.1) = √400 = 20 rad/s. - الدور الذاتي:
T₀ = 2π ÷ 20 ≈ 0.314 s. - التواتر:
f₀ ≈ 3.18 Hz. - السرعة الأعظمية:
v_max = 20 × 0.05 = 1 m/s. - الطاقة الميكانيكية:
E_m = 0.5 × 40 × 0.05² = 0.05 J. - المعادلة الزمنية: بدون سرعة ابتدائية والابتعاد عند
t = 0أعظمي موجب، فـφ = 0وx(t) = 0.05 × cos(20 t).
أخطاء شائعة
- الخلط بين السعة
X_mوالفاصلةxالمتغيرة. - نسيان الإشارة السالبة في قوة الإرجاع.
- القول إن الدور يتعلق بالسعة.
- استعمال القيمة بالغرام أو بالسنتيمتر دون تحويل إلى
kgوm. - كتابة
T₀ = 2π × √(k ÷ m)بالمقلوب. - الخلط بين
ω₀(النبض) وf₀(التواتر) وT₀(الدور).
تمارين للتدرب
- احسب الدور الذاتي لنواس مرن كتلته
0.4 kgوثابت صلابته100 N/m. - ماذا يحدث للدور إذا ضاعفنا الكتلة أربع مرات؟
- نواس سعته
0.1 mوثابت صلابته50 N/m. احسب طاقته الميكانيكية. - ما السرعة عند المرور بوضع التوازن إذا كان
ω₀ = 10 rad/sوX_m = 0.02 m؟
الحلول:
T₀ = 2π × √(0.4 ÷ 100) = 2π × 0.0632 ≈ 0.397 s.- يتضاعف الدور مرتين، لأن
T₀يتناسب مع الجذر التربيعي للكتلة. E_m = 0.5 × 50 × 0.1² = 0.25 J.v_max = 10 × 0.02 = 0.2 m/s.
الشرح المصوّر
لمن يفضل المتابعة بالصوت والصورة، يشرح فيديو «النواس المرن، الدرس الأول» من منصة لبيب الدرس في نحو تسع عشرة دقيقة لطلاب البكالوريا، بعد فيديو سابق عن معنى النواسات بشكل عام، ويبدأ بتركيب النواس من نابض مرن حلقاته متباعدة مهمل الكتلة، وقوتي الشد والتوتر، وثابت الصلابة.
وللتوسع، اطلع على هذا الملف في الموقع: