اترك ريشة وكرة معدنية تسقطان في الهواء فتصل الكرة أولًا، وفي أنبوب مفرغ تصلان معًا. وإذا رميت كرة صغيرة في زيت فإنها تغوص بسرعة تثبت بعد قليل. هذه المشاهد تلخص درس السقوط الشاقولي لجسم صلب في برنامج السنة الثالثة ثانوي، وهو الجزء الثاني من دروس الميكانيك. وفيه يظهر لأول مرة بيان للسرعة بشكل جديد: يتغير ثم يثبت. تعرض هذه الصفحة القوى المؤثرة، ثم بيان السرعة والنظامين، ثم المعادلة التفاضلية وحلها، ثم السرعة الحدية، ثم السقوط الحر، ثم مثالًا بالأعداد، وتنتهي بأخطاء متكررة وتمارين.
التجربة
نترك جسمًا صلبًا يسقط شاقوليًا في مائع (هواء أو ماء أو زيت)، ونتابع حركة مركز عطالته G بالتصوير المتتابع، ثم نرسم بيان السرعة v = f(t). فنجده يتكون من جزأين:
- جزء تتغير فيه السرعة: النظام الانتقالي.
- جزء تثبت فيه السرعة: النظام الدائم.
القوى المؤثرة
على الجسم قوى ثلاث:
- الثقل
P = m × g: شاقولي نحو الأسفل. - دافعة أرخميدس
Π = ρ_f × V × g: شاقولية نحو الأعلى، حيثρ_fالكتلة الحجمية للمائع وVحجم الجسم المغمور. وهي تهمل غالبًا في الهواء. - قوة الاحتكاك (المقاومة)
f: شاقولية نحو الأعلى (تعاكس الحركة)، وتتزايد مع السرعة. وفي هذا المستوى تكتب: f = k × v(احتكاك يتناسب مع السرعة، للسرعات الصغيرة).- أو
f = k × v²للسرعات الكبيرة.
المعادلة التفاضلية للحركة
نطبق القانون الثاني لنيوتن على الجسم في مرجع أرضي (غاليلي)، ونختار المحور شاقوليًا موجهًا نحو الأسفل، مع احتكاك f = k × v:
m × dv/dt = P − Π − k × v
نقسم على m:
dv/dt = (P − Π) ÷ m − (k ÷ m) × v
وهي معادلة تفاضلية من الشكل v' = A − B × v حيث A = (P − Π) ÷ m وB = k ÷ m.
حل المعادلة والنظامان
حل المعادلة مع v(0) = 0:
v(t) = (A ÷ B) × (1 − e^(−B × t))
ونعرف:
- السرعة الحدية
v_lim = A ÷ B = (P − Π) ÷ k. - ثابت الزمن (زمن التحول)
τ = 1 ÷ B = m ÷ k.
وهكذا:
- النظام الانتقالي:
tصغير، السرعة تتزايد. تسارع الجسم يتناقص لأن الاحتكاك يزداد. - النظام الدائم:
tأكبر بكثير منτ(نحو5τ)، السرعة ثابتةv_lim، التسارع معدوم، فتتوازن القوى الثلاث:P = Π + f.
وخلال النظام الدائم تكون الحركة مستقيمة منتظمة.
السقوط الحر
هو سقوط جسم خاضع لثقله فقط (يهمل الاحتكاك والدافعة)، مثل جسم يسقط في الفراغ:
m × a = m × g فإذن a = g.
- السرعة:
v = g × t. - المسافة:
y = ½ × g × t². - العلاقة بدون زمن:
v² = 2 × g × y.
والتسارع واحد لجميع الأجسام مهما كانت كتلتها.
مثال بالأعداد
كرة كتلتها m = 0.1 kg تسقط في سائل، دافعة أرخميدس عليها Π = 0.2 N، ومعامل الاحتكاك k = 0.5 kg/s. نأخذ g = 10 N/kg.
- الثقل:
P = 0.1 × 10 = 1 N. - السرعة الحدية:
v_lim = (P − Π) ÷ k = (1 − 0.2) ÷ 0.5 = 1.6 m/s. - ثابت الزمن:
τ = m ÷ k = 0.1 ÷ 0.5 = 0.2 s. - يبلغ الجسم النظام الدائم بعد نحو
5τ = 1 s.
أخطاء شائعة
- نسيان دافعة أرخميدس في السوائل، وإهمالها في الهواء فقط.
- الخلط بين السقوط الحر (الثقل فقط) والسقوط في مائع (احتكاك).
- القول إن التسارع ثابت في النظام الانتقالي. هو يتناقص حتى ينعدم.
- القول إن القوى معدومة في النظام الدائم، المحصلة هي المعدومة وليست كل قوة.
- عدم الانتباه إلى اتجاه المحور عند الإشارات.
- الخطأ في قراءة
v_limمن البيان: هو القيمة التي يؤول إليها المنحنى.
تمارين للتدرب
- ما القوى المؤثرة على جسم يسقط في الهواء؟ وما التبسيط المعتاد؟
- ما شرط النظام الدائم؟
- جسم كتلته
0.2 kgيسقط في سائل،Π = 0.4 N،k = 1 kg/s،g = 10 N/kg. احسبv_limوτ. - جسم يسقط حرًا من السكون. ما سرعته بعد
3 sوما المسافة المقطوعة؟
الحلول:
- الثقل وقوة الاحتكاك، وتهمل الدافعة في الهواء.
- التسارع معدوم والسرعة ثابتة، أي
P = Π + f. P = 2 Nفـv_lim = (2 − 0.4) ÷ 1 = 1.6 m/s، وτ = 0.2 ÷ 1 = 0.2 s.v = 10 × 3 = 30 m/sوy = 0.5 × 10 × 9 = 45 m.
الشرح المصوّر
لمن يفضل المتابعة بالصوت والصورة، يشرح الأستاذ عبد اللطيف في فيديو «السقوط الشاقولي لجسم صلب» الجزء النظري في نحو أربع وأربعين دقيقة، وهو الجزء الثاني من الميكانيك، ويوضح فيه تجربة ترك جسم يسقط عموديًا ومتابعة مركز عطالته ورسم بيان السرعة المقسم إلى جزأين: نظام انتقالي ونظام دائم، ويتبعه فيديو للتمارين.
وللتوسع، اطلع على هذه الملفات في الموقع: