حين ترمي كرة نحو سلة، أو يركل لاعب الكرة، أو يقفز رياضي في العالي، فكل هذه الحركات تتبع المسار المنحني نفسه تقريبًا: قوس يرتفع ثم ينزل. هذا المسار يسمى قطعًا مكافئًا، وهو موضوع درس حركة قذيفة في وحدة الميكانيك من برنامج السنة الثالثة ثانوي. وفيه تتحول الحركة إلى معادلات رياضية دقيقة تسمح بحساب الارتفاع الأقصى والمدى وزمن الطيران. تعرض هذه الصفحة خصائص القذيفة، ثم القانون الثاني لنيوتن، ثم المعادلات الزمنية، ثم معادلة المسار، ثم الذروة والمدى، ثم مثالين عدديين، وتنتهي بأخطاء متكررة وتمارين محلولة.
ما القذيفة؟
القذيفة جسم يُقذف بسرعة ابتدائية v₀ تصنع زاوية α مع الأفق (يمكن أن تكون الزاوية معدومة)، ثم يتحرك وهو خاضع لقوة واحدة فقط هي ثقله. أي أننا نهمل الاحتكاك ودافعة أرخميدس.
وبذلك فمسار القذيفة يتحدد بشيئين: السرعة الابتدائية (قيمتها واتجاهها)، والثقل.
الدراسة: القانون الثاني لنيوتن
نختار مرجعًا أرضيًا (يعتبر غاليليًا)، ومعلمًا (O ; x ; y) حيث Ox أفقي وOy شاقولي موجه نحو الأعلى. القوة الوحيدة هي الثقل P = m × g، موجه نحو الأسفل:
m × a = m × g
فيكون التسارع a = g (وكتلة الجسم تختصر). وبالإسقاط على المحورين:
a_x = 0a_y = −g
أي أن الحركة على المحور الأفقي مستقيمة منتظمة، وعلى المحور الشاقولي مستقيمة متغيرة بانتظام.
المعادلات الزمنية
نفترض أن القذف يتم من نقطة ترتيبها الابتدائي y₀، وبسرعة ابتدائية v₀ وزاوية α، فمركبتا السرعة الابتدائية v₀ × cos α وv₀ × sin α.
السرعة:
v_x = v₀ × cos α(ثابتة).v_y = −g × t + v₀ × sin α.
الموضع:
x(t) = (v₀ × cos α) × ty(t) = −½ × g × t² + (v₀ × sin α) × t + y₀
معادلة المسار
نحذف الزمن بين المعادلتين: من الأولى t = x ÷ (v₀ × cos α)، فنعوض في الثانية:
y = −(g ÷ (2 × v₀² × cos² α)) × x² + (tan α) × x + y₀
وهي معادلة من الدرجة الثانية في x، أي أن المسار قطع مكافئ.
الذروة
الذروة S هي أعلى نقطة في المسار. عندها السرعة الشاقولية معدومة v_y = 0:
- زمن الوصول إلى الذروة:
t_S = (v₀ × sin α) ÷ g. - الارتفاع الأقصى:
y_S = y₀ + (v₀² × sin² α) ÷ (2 × g).
وعند الذروة تبقى السرعة أفقية v = v₀ × cos α (لا تنعدم).
المدى
المدى x_P هو المسافة الأفقية بين نقطة القذف ونقطة الوصول إلى الأرض (على الارتفاع نفسه، y₀ = 0):
x_P = (v₀² × sin 2α) ÷ g
وهو أكبر ما يمكن عندما α = 45°. وزمن الطيران الكلي t_P = 2 × t_S = (2 × v₀ × sin α) ÷ g.
مثال 1: قذف مائل
نقذف جسمًا من الأرض بسرعة v₀ = 20 m/s تصنع زاوية α = 30° مع الأفق، ونأخذ g = 10 m/s².
- زمن الذروة:
t_S = 20 × 0.5 ÷ 10 = 1 s. - الارتفاع الأقصى:
y_S = (400 × 0.25) ÷ 20 = 5 m. - زمن الطيران:
t_P = 2 s. - المدى:
x_P = (400 × sin 60°) ÷ 10 = 40 × 0.866 ≈ 34.6 m.
مثال 2: قذف أفقي
نقذف كرة أفقيًا (α = 0) من ارتفاع h = 20 m بسرعة v₀ = 15 m/s.
- الزمن اللازم للوصول إلى الأرض:
y = h − ½ × g × t² = 0فإذنt = √(2h ÷ g) = √4 = 2 s. - المدى الأفقي:
x = v₀ × t = 15 × 2 = 30 m.
ولاحظ أن زمن السقوط لا يتعلق بالسرعة الأفقية.
أخطاء شائعة
- الخلط بين المركبتين:
cos αللمحور الأفقي وsin αللمحور الشاقولي. - القول إن السرعة معدومة عند الذروة. المعدوم هو المركبة الشاقولية فقط.
- نسيان إشارة
gالسالبة عندما يكون المحورOyنحو الأعلى. - وضع كتلة القذيفة في المعادلات. التسارع لا يتعلق بالكتلة.
- القول إن الحركة الأفقية متسارعة. هي منتظمة.
- استعمال قيمة الزاوية بالراديان على الحاسبة المضبوطة على الدرجات.
تمارين للتدرب
- نقذف جسمًا بسرعة
10 m/sبزاوية45°(من الأرض،g = 10 m/s²). احسب المدى. - ما قيمة تسارع الحركة الأفقية لقذيفة؟
- كرة تقذف أفقيًا من ارتفاع
5 m. احسب زمن سقوطها. - احسب الارتفاع الأقصى لقذيفة سرعتها
20 m/sبزاوية90°(قذف شاقولي).
الحلول:
x_P = (100 × sin 90°) ÷ 10 = 10 m.- معدوم، لأن الحركة الأفقية منتظمة.
t = √(2 × 5 ÷ 10) = 1 s.y_S = (400 × 1) ÷ 20 = 20 m.
الشرح المصوّر
لمن يفضل المتابعة بالصوت والصورة، يشرح الأستاذ عبد اللطيف في فيديو «حركة قذيفة» الجزء النظري كله في نحو سبع وثلاثين دقيقة، تحضيرًا للاختبارات وللبكالوريا، ويتبعه فيديو للتمارين، ويبدأ بالتمثيل البياني لمسار قذيفة، ثم يوضح خصائص الحركة القذيفية: القذف بسرعة ابتدائية وزاوية، والخضوع لقوة الثقل وحدها.
وللتدرب على حركة القذيفة، اطلع على هذين الملفين في الموقع: