يُنسب إلى فيثاغورس أشهر ما في الهندسة المدرسية: مربع الوتر يساوي مجموع مربعي الضلعين القائمين. وبها يعرف النجار هل ركن الغرفة قائم، ويحسب المهندس طول القطر دون أن يقيسه. وهي في برنامج السنة الثالثة متوسط، ثم تعود معك في الرابعة بتوسع. تعرض هذه الصفحة تذكيرًا بالمثلث القائم، ثم الخاصية المباشرة، ثم الخاصية العكسية، ثم كيف تستعمل الآلة الحاسبة، وتنتهي بأمثلة وأخطاء متكررة وتمارين محلولة.
تذكير بالمثلث القائم
المثلث القائم مثلث فيه زاوية قائمة. والضلع المقابل للزاوية القائمة هو الوتر، وهو أطول أضلاع المثلث. والضلعان الآخران هما الضلعان القائمان. ومن معلوماتك السابقة عن المثلث القائم أن الدائرة المحيطة به يقع مركزها في منتصف الوتر، وأن المتوسط المتعلق بالوتر يساوي نصفه.
الخاصية المباشرة
إذا كان المثلث ABC قائمًا في A فإن:
BC² = AB² + AC²
أي أن مربع الوتر يساوي مجموع مربعي الضلعين القائمين. نستعملها لحساب طول ضلع مجهول:
- حساب الوتر:
BC = √(AB² + AC²). مثال:AB = 3وAC = 4تعطيBC² = 9 + 16 = 25ومنهBC = 5. - حساب ضلع قائم:
AC = √(BC² − AB²). مثال:BC = 13وAB = 5تعطيAC² = 169 − 25 = 144ومنهAC = 12.
ولا تنس أن تأخذ الجذر التربيعي في النهاية، فالحساب الأول يعطيك مربع الطول لا الطول.
الخاصية العكسية
إذا كان في مثلث ABC أن BC² = AB² + AC² فإن المثلث ABC قائم في A.
وهي أداة للبرهان على أن مثلثًا قائم. نتبع الخطوات الآتية:
- نحدد أطول ضلع، فهو الوتر المحتمل.
- نحسب مربعه على حدة.
- نحسب مجموع مربعي الضلعين الآخرين على حدة.
- نقارن: إن تساويا فالمثلث قائم، وإن اختلفا فالمثلث غير قائم.
مثال: مثلث قائم. أطوال أضلاعه 5 و 12 و 13. الأطول 13: 13² = 169، و 5² + 12² = 25 + 144 = 169. المتساويان، فالمثلث قائم والوتر 13.
مثال: مثلث غير قائم. أطوال أضلاعه 4 و 5 و 6. 6² = 36 بينما 4² + 5² = 16 + 25 = 41. غير متساويين، فالمثلث غير قائم. وفي هذه الحالة نستعمل الخاصية المباشرة بالنفي: لو كان قائمًا لتحققت المساواة.
ثلاثيات فيثاغورس
مجموعات من ثلاثة أعداد صحيحة تحقق العلاقة، تُفيد في حفظ الأمثلة: (3 ; 4 ; 5) و (5 ; 12 ; 13) و (8 ; 15 ; 17) و (7 ; 24 ; 25). ويحافظ ضرب الثلاثية في عدد على الخاصية: (6 ; 8 ; 10) و (9 ; 12 ; 15).
تطبيقات
- قطر مستطيل: قطر مستطيل بعداه
6و8هو√(36 + 64) = √100 = 10. - قطر مربع: قطر مربع ضلعه 5 هو
√(25 + 25) = 5√2 ≈ 7.07. - سلم مسند إلى جدار: سلم طوله
2.5 mوقدمه تبعد1.5 mعن الجدار. الارتفاع الذي يبلغه على الجدار√(2.5² − 1.5²) = √(6.25 − 2.25) = √4 = 2 m.
استعمال الآلة الحاسبة
لحساب الجذر التربيعي استعمل المفتاح √. فإذا كانت النتيجة جذرًا غير تام فاكتب قيمتها المضبوطة أولًا إن طُلب ذلك (مثل √50) ثم قيمتها التقريبية بتقريب مناسب. واحرص على إدخال المقدار تحت الجذر كاملًا بين قوسين: √(4² + 5²) وليس √4² + 5².
أخطاء شائعة
- تطبيق الخاصية على مثلث ليس قائمًا.
- اعتبار ضلع قائم هو الوتر. الوتر هو المقابل للزاوية القائمة، وهو الأطول.
- نسيان الجذر التربيعي في النهاية.
- الطرح بالعكس عند حساب ضلع قائم: يجب أن تطرح مربع الضلع المعلوم من مربع الوتر لا العكس.
- في الخاصية العكسية، المقارنة بين مربع ضلع غير الأطول ومجموع مربعي الضلعين الآخرين.
- كتابة وحدة الطول بعد المربع دون تربيعها.
تمارين للتدرب
- المثلث
ABCقائم فيAمعAB = 6وAC = 8. احسبBC. - المثلث
ABCقائم فيAمعBC = 13وAB = 5. احسبAC. - هل المثلث الذي أطوال أضلاعه
7و24و25قائم؟ - هل المثلث الذي أطوال أضلاعه
4و5و6قائم؟ - احسب قطر مستطيل بعداه
9و12.
الحلول:
BC² = 36 + 64 = 100فـBC = 10.AC² = 169 − 25 = 144فـAC = 12.25² = 625و7² + 24² = 49 + 576 = 625. متساويان، فالمثلث قائم والوتر 25.6² = 36و4² + 5² = 41. غير متساويين، فالمثلث غير قائم.√(81 + 144) = √225 = 15.
الشرح المصوّر وملفات التمارين
لمن يفضل المتابعة بالصوت والصورة، يشرح الأستاذ الناجح في فيديو «خاصية فيثاغورس والخاصية العكسية وكيف أستعمل الآلة الحاسبة العلمية» الدرس في نحو أربع وعشرين دقيقة، مبتدئًا بتذكير بخصائص المثلث القائم كالدائرة المحيطة به والمتوسط المتعلق بالوتر.
وللتدرب على تمارين حقيقية، اطلع على هذين الملفين في الموقع: