حركة الأقمار الصناعية للبكالوريا علوم تجريبية ورياضيات: المرجع المركزي الأرضي والعبارة الشعاعية لقوة الجذب والسرعة المدارية

وحدة الميكانيك في البكالوريا (الوحدة الثانية) ثرية بالأفكار، وأكثر ما يتكرر في امتحانات السنوات الأخيرة تمارين الأقمار الصناعية والكواكب. هذه الصفحة تعالج تمرينا شاملا ورد في بكالوريا 2022 (شعبتا الرياضيات والتقني رياضي) حول القمر الصناعي القطري سهيل سات الذي أطلق سنة 2018، وتجيب عن أسئلة هذا النوع من التمارين بترتيب. وتنتهي بتمارين تدريبية.

1. اختيار المرجع المناسب

القمر يدور حول الأرض في مسار يعتبر دائريا، فالمرجع المناسب لدراسة حركته هو المرجع المركزي الأرضي (الجيومركزي)، ويعتبر غاليليا خلال مدة الدراسة. وهذا الجواب نفسه لكل قمر صناعي يدور حول الأرض.

2. معلم فريني

لدراسة الحركة الدائرية نستعمل معلم فريني ⁦(S ; u_T , u_N)⁩ مبدؤه مركز عطالة القمر ⁦S⁩، ويضم محورين:

3. العبارة الشعاعية لقوة الجذب

القوة الوحيدة المؤثرة على القمر (نهمل الباقي) هي قوة جذب الأرض ⁦F(T/S)⁩. من قانون الجذب العام لنيوتن:

⁦F = G × (M_T × m_S) / r²⁩

حيث ⁦r⁩ هو نصف قطر المسار (البعد بين مركز الأرض ومركز القمر)، وبالعبارة الشعاعية:

⁦F(T/S) = G × (M_T × m_S) / r² × u_N⁩

لأن القوة ناظمية وموجهة نحو مركز الأرض. ويجب الانتباه إلى الفرق بين الكتابة الجبرية (القيمة) والكتابة الشعاعية (القيمة مع شعاع الوحدة).

4. شعاع السرعة

• المنطلق: مركز عطالة القمر.
• الحامل: المماس للمسار (المحور المماسي).
• الاتجاه: جهة الدوران (عكس عقارب الساعة كما تدور الكواكب).
• الشدة: ثابتة لأن الحركة دائرية منتظمة.

5. شعاع التسارع

بتطبيق القانون الثاني لنيوتن على القمر في المرجع المركزي الأرضي:

⁦F(T/S) = m_S × a⁩

فيكون: ⁦a = G × M_T / r² × u_N⁩

أي أن التسارع ناظمي (مركزي، متجه نحو مركز الأرض) وشدته ⁦a = G M_T / r²⁩، ولا يتعلق بكتلة القمر.

وفي الحركة الدائرية المنتظمة ⁦a_T = 0⁩ (التسارع المماسي معدوم) لأن السرعة ثابتة الشدة، و⁦a_N = v² / r⁩.

6. عبارة السرعة

بمطابقة العبارتين: ⁦v² / r = G M_T / r²⁩، ومنه:

⁦v = sqrt( G × M_T / r )⁩

ملاحظة: كلما زاد نصف القطر ⁦r⁩ نقصت السرعة.

7. عبارة الدور (قانون كبلر الثالث)

الدور ⁦T⁩ هو مدة دورة كاملة، أي ⁦T = 2π r / v⁩. بالتعويض:

⁦T² / r³ = 4π² / (G × M_T)⁩

وهي النسبة الثابتة التي يخص بها القانون الثالث لكبلر كل الأجسام التي تدور حول الجسم نفسه.

القمر الجيومستقر

له دور يساوي دور دوران الأرض حول نفسها (نحو 24 ساعة)، ويدور في المستوي الاستوائي، فيبدو ثابتا في سماء نقطة من سطح الأرض. وهذا ما تستعمله أقمار الاتصالات والبث.

خطوات حل تمرين الأقمار

1. حدد المرجع والجملة والقوى.
2. مثل معلم فريني وارسم القوة ناظمية.
3. طبق القانون الثاني لنيوتن.
4. أسقط على المحورين وأوجد ⁦a_T⁩ و⁦a_N⁩.
5. استنتج ⁦v⁩ ثم ⁦T⁩.

تمارين

1. هل تتعلق سرعة القمر المداري بكتلته؟ (لا)
2. اكتب الدور بدلالة ⁦r⁩. (⁦T = 2π sqrt( r³ / (G M_T) )⁩)
3. ماذا يحدث للسرعة إذا ارتفع القمر إلى مدار أعلى؟ (تنقص)

نصائح

• اكتب دائما نوع الجملة والمرجع قبل أي إسقاط.
• فرق بين العبارة الجبرية والشعاعية.
• لا تنس أن ⁦r⁩ هو نصف قطر المسار وليس ارتفاع القمر عن السطح.

أخطاء شائعة

• استعمال نصف قطر الأرض بدل ⁦r⁩.
• كتابة التسارع مماسيا في الحركة الدائرية المنتظمة.
• نسيان شعاع الوحدة في الكتابة الشعاعية.

الشرح المصوّر

لمن يفضل المتابعة بالصوت والصورة، يقدم الأستاذ عبدو رضوان في فيديو «تمرين ورد في بكالوريا 2022 شامل لكل أسئلة الأقمار الصناعية» هذا التمرين في نحو ثماني عشرة دقيقة.