الأعداد الطبيعية والأعداد العشرية: القراءة والكتابة والكتابة الكسرية والعشرية - السنة الأولى متوسط

أول مقطع تدرسه في الرياضيات في السنة الأولى متوسط هو الأعداد الطبيعية والأعداد العشرية، وهو مراجعة منظمة لما عرفته في الابتدائي مع أفكار جديدة. وفيه تتعلم كيف تقرأ عددًا كبيرًا وتكتبه، وكيف تقرأ عددًا عشريًا وتحدد قيمة كل رقم فيه، وكيف تنتقل بين الكتابة الكسرية والكتابة العشرية. وفي الفيديو الذي نعتمد عليه تحدٍّ بسيط: هل يمكن أن نكتب العدد ⁦9.35305⁩ على شكل مجموع كسور مقاماتها قوى العدد 10؟ والجواب في هذه الصفحة. تعرض الصفحة قراءة الأعداد الطبيعية، ثم الأعداد العشرية ومراتب أرقامها، ثم الكتابة الكسرية، ثم التحويل والمقارنة والتأطير، وتنتهي بأخطاء متكررة وتمارين محلولة.

الأعداد الطبيعية

الأعداد الطبيعية هي ⁦0 ; 1 ; 2 ; 3 ; …⁩، ولها عدد لا نهائي من الأعداد. ونقرأ العدد الكبير بتقسيمه إلى فئات من ثلاثة أرقام انطلاقًا من اليمين: فئة الآحاد، فئة الآلاف، فئة الملايين، فئة المليارات. مثال: ⁦3 254 817⁩ نقرؤه: ثلاثة ملايين ومئتان وأربعة وخمسون ألفًا وثمانمئة وسبعة عشر.

وقيمة الرقم تتعلق بموضعه: في العدد ⁦3 254 817⁩ الرقم 5 يمثل ⁦50 000⁩ لأنه في خانة عشرات الآلاف.

الأعداد العشرية

العدد العشري عدد له جزء صحيح وجزء عشري تفصل بينهما فاصلة. والجزء العشري أرقامه تتبع الفاصلة وتمثل أجزاء من الواحد: أول رقم بعد الفاصلة هو العُشر، والثاني الجزء من مئة، والثالث الجزء من ألف.

في العدد ⁦9.35305⁩: الجزء الصحيح 9، والجزء العشري ⁦35305⁩. الرقم 3 الأول بعد الفاصلة يمثل ⁦3 / 10⁩ والرقم 5 يمثل ⁦5 / 100⁩، وهكذا. ونقرأه: تسعة فاصلة خمسة وثلاثون ألفًا وثلاثمئة وخمسة من مئة ألف، أو نقرأ الجزء العشري رقمًا رقمًا.

الكتابة الكسرية للعدد العشري

نجيب عن تحدي الفيديو: نعم، يمكن:

⁦9.35305 = 9 + 3 / 10 + 5 / 100 + 3 / 1000 + 0 / 10000 + 5 / 100000⁩

فكل رقم بعد الفاصلة يُكتب كسرًا بسطه الرقم نفسه ومقامه 10 أو 100 أو 1000... حسب رتبته. وهذه تسمى الكتابة الكسرية (أو التفكيك) للعدد العشري. ومن هذا نرى أن العدد العشري هو مجموع عدد صحيح وكسور عشرية.

والكسر العشري كسر مقامه ⁦10⁩ أو ⁦100⁩ أو ⁦1000⁩...، فهو يُكتب مباشرة بصيغة عشرية: ⁦7 / 10 = 0.7⁩ و ⁦35 / 100 = 0.35⁩ و ⁦4 / 1000 = 0.004⁩.

الانتقال بين الكسر والكتابة العشرية

من كسر إلى كتابة عشرية:

• إذا كان المقام 10 أو 100 أو 1000 نكتبه مباشرة: ⁦3 / 10 = 0.3⁩.
• وإلا حاولنا أن نحول المقام إلى 10 أو 100 أو 1000 بضرب البسط والمقام في العدد نفسه: ⁦3 / 4 = 75 / 100 = 0.75⁩، و ⁦7 / 8 = 875 / 1000 = 0.875⁩، و ⁦1 / 5 = 2 / 10 = 0.2⁩.
• وإلا قسمنا البسط على المقام.

من كتابة عشرية إلى كسر: نضع الأرقام كلها بسطًا وقوة العدد 10 المناسبة مقامًا، ثم نختزل إن أمكن: ⁦0.6 = 6 / 10 = 3 / 5⁩، و ⁦2.45 = 245 / 100 = 49 / 20⁩.

المقارنة والترتيب

لمقارنة عددين عشريين:

1. نقارن الجزأين الصحيحين، فالأكبر جزءًا صحيحًا هو الأكبر.
2. إن تساويا نقارن الأرقام العشرية رقمًا رقمًا من اليسار إلى اليمين: العُشر ثم الجزء من مئة ثم الجزء من ألف.

مثال: ⁦3.2⁩ و ⁦3.25⁩. الجزءان الصحيحان متساويان، والعُشران متساويان ⁦2⁩، وبعد ذلك ⁦3.2 = 3.20⁩ والرقم التالي ⁦0 < 5⁩ فـ ⁦3.2 < 3.25⁩. وترتيب الأعداد ⁦3.2 ; 3.25 ; 3.3⁩ تصاعدي. وتذكر أن ⁦0.4 > 0.35⁩ رغم أن ⁦35 > 4⁩، لأن ⁦0.4 = 0.40⁩ وعُشره 4 أكبر من 3.

التأطير والتدوير

• التأطير: نحصر العدد بين عددين متتاليين من رتبة معينة. مثال: ⁦4.678⁩ محصور بين ⁦4.6⁩ و ⁦4.7⁩ (تأطير بالجزء من عشرة)، وبين ⁦4.67⁩ و ⁦4.68⁩ (بالجزء من مئة).
• التدوير: نختار أقرب القيمتين: ⁦4.678⁩ يدور إلى ⁦4.68⁩ بالجزء من مئة، لأن الرقم التالي 8 أكبر من أو يساوي 5. ويدور إلى ⁦4.7⁩ بالجزء من عشرة.

أخطاء شائعة

• الخلط بين ⁦0.5⁩ و ⁦0.05⁩: الأول نصف والثاني جزء من عشرين.
• القول إن ⁦0.4 < 0.35⁩ لأن 4 أصغر من 35. المقارنة تتم رقمًا رقمًا من اليسار.
• الخطأ في قراءة العدد الذي فيه أصفار وسطية: ⁦205⁩ ليست ⁦25⁩.
• نسيان أن إضافة أصفار على يمين الجزء العشري لا يغير قيمة العدد: ⁦3.2 = 3.20 = 3.200⁩.
• تحويل الكسر إلى كتابة عشرية بقسمة المقام على البسط بدل البسط على المقام.
• تدوير العدد بإسقاط الأرقام دون النظر إلى الرقم التالي.

تمارين للتدرب

1. اقرأ العدد ⁦4 080 507⁩.
2. اكتب ⁦5.208⁩ على شكل مجموع كسور عشرية.
3. حول ⁦3 / 8⁩ إلى كتابة عشرية، و ⁦0.45⁩ إلى كسر مختزل.
4. قارن ⁦0.4⁩ و ⁦0.35⁩، ثم رتب ⁦3.2⁩ و ⁦3.05⁩ و ⁦3.25⁩.
5. أطّر ⁦7.846⁩ بالجزء من مئة ودوّره إلى الجزء من عشرة.

الحلول:

1. أربعة ملايين وثمانون ألفًا وخمسمئة وسبعة.
2. ⁦5 + 2 / 10 + 0 / 100 + 8 / 1000⁩.
3. ⁦3 / 8 = 375 / 1000 = 0.375⁩، و ⁦0.45 = 45 / 100 = 9 / 20⁩.
4. ⁦0.4 > 0.35⁩ لأن ⁦0.40 > 0.35⁩. والترتيب التصاعدي ⁦3.05 < 3.2 < 3.25⁩.
5. ⁦7.84 < 7.846 < 7.85⁩، والتدوير إلى الجزء من عشرة ⁦7.8⁩ لأن الرقم التالي 4 أصغر من 5.

الشرح المصوّر وملفات التمارين

لمن يفضل المتابعة بالصوت والصورة، يقدم الأستاذ أسامة في فيديو «الدرس الأول: الأعداد الطبيعية والأعداد العشرية، السنة الأولى متوسط» أول فيديو في سلسلة الرياضيات للسنة، في نحو ثماني عشرة دقيقة: قراءة عدد طبيعي وعدد عشري، والانتقال من الكتابة الكسرية إلى الكتابة العشرية والعكس.

وللتدرب على تمارين حقيقية، اطلع على هذه الملفات في الموقع:

• ملخص درس الأعداد الطبيعية والأعداد العشرية والقياس في الرياضيات
• ملخص «الأعداد الطبيعية والأعداد العشرية (2)»: القسمة الإقليدية وقابلية القسمة والقسمة العشرية
• سلسلة تمارين «الأعداد الطبيعية والأعداد العشرية» مع الحل المفصل للسنة الأولى متوسط