اتفق كثير من المدرسين على أن موضوع الرياضيات في شهادة التعليم المتوسط 2024 كان في المتناول، لأنه غطى أبواب السنة الرابعة المعروفة: النشر والتحليل، والقاسم المشترك الأكبر، والمعلم والمثلث القائم، وجملة معادلتين وطالس، ثم مسألة على الدوال الخطية والتآلفية والثابتة. وهذا يعني أن التلميذ الذي دَرَسَ المنهاج كاملا وتدرب على نماذج سابقة يستطيع بلوغ العلامة الكاملة. تعرض الصفحة حلا مفصلا لكل أسئلة الموضوع، مع القاعدة المستعملة في كل سؤال ومكان الخطأ المتوقع.
التمرين الأول: النشر والتحليل وحل معادلة
نعتبر العبارة A(x) = 49x² - 16 + (x + 3)(7x - 4).
1. تحقق بالنشر أن A(x) = 56x² + 17x - 28
ننشر الجداء (x + 3)(7x - 4) حدا حدا:
x × 7x = 7x²x × (-4) = -4x3 × 7x = 21x3 × (-4) = -12
إذن (x + 3)(7x - 4) = 7x² - 4x + 21x - 12 = 7x² + 17x - 12.
نضيف 49x² - 16:
A(x) = 49x² - 16 + 7x² + 17x - 12 = 56x² + 17x - 28.
وهو المطلوب.
2. حلل 49x² - 16 إلى جداء عاملين
لا يوجد عامل مشترك، لكن العبارة فرق بين مربعين (المتطابقة الشهيرة الثالثة a² - b² = (a - b)(a + b)):
49x² - 16 = (7x)² - 4² = (7x - 4)(7x + 4).
3. استنتج تحليل A(x)
نعوض في عبارة A(x) الأصلية:
A(x) = (7x - 4)(7x + 4) + (x + 3)(7x - 4).
العامل المشترك هو (7x - 4)، نخرجه:
A(x) = (7x - 4)[(7x + 4) + (x + 3)] = (7x - 4)(8x + 7).
4. حل المعادلة (7x - 4)(8x + 7) = 0
القاعدة: جداء عاملين معدوم إذا وفقط إذا كان أحدهما على الأقل معدوما.
7x - 4 = 0←x = 4/7.8x + 7 = 0←x = -7/8.
إذن للمعادلة حلان: x = 4/7 وx = -7/8.
التمرين الثاني: القاسم المشترك الأكبر
تملك خياطة قطعة قماش مستطيلة عرضها 270 cm وطولها 378 cm وتريد تقطيعها إلى مربعات متقايسة دون ضياع.
1. هل يمكن أن يكون ضلع المربع 10 cm؟ وهل 18 cm؟
يمكن التقطيع دون ضياع إذا كان طول ضلع المربع قاسما مشتركا لـ378 و270.
- بالنسبة لـ
10:378 ÷ 10 = 37.8ليس عددا طبيعيا، إذن لا يمكن. - بالنسبة لـ
18:378 ÷ 18 = 21و270 ÷ 18 = 15، كلاهما عدد طبيعي، إذن يمكن.
2. أوجد أكبر طول ممكن لضلع المربع ثم عدد المربعات
نحسب PGCD(378 ; 270) بخوارزمية إقليدس:
378 = 270 × 1 + 108270 = 108 × 2 + 54108 = 54 × 2 + 0
آخر باق غير معدوم هو 54. إذن أكبر ضلع هو 54 cm.
عدد المربعات: (378 ÷ 54) × (270 ÷ 54) = 7 × 5 = 35 مربعا.
التمرين الثالث: المعلم
في معلم متعامد ومتجانس نعتبر النقط R(5 ; 6) وS(1 ; -2) وT(-5 ; 1).
1. علّم النقط
نعلم النقط الثلاث ونرسم المثلث RST.
2. بيّن أن TR = 5√5 وأن TS = 3√5
قانون المسافة: AB = √[(x_B - x_A)² + (y_B - y_A)²].
TR = √[(5 - (-5))² + (6 - 1)²] = √(10² + 5²) = √125 = √(25 × 5) = 5√5.TS = √[(1 - (-5))² + (-2 - 1)²] = √(6² + 3²) = √45 = √(9 × 5) = 3√5.
3. احسب RS، وتأكد أن المثلث قائم في S
RS = √[(1 - 5)² + (-2 - 6)²] = √(16 + 64) = √80 = 4√5.
نتحقق من عكس خاصية فيثاغورس: TS² + RS² = 45 + 80 = 125 = TR². إذن المثلث RST قائم في S.
4. احسب قيس الزاوية TRS بالتدوير إلى الدرجة
في المثلث القائم في S، الضلع المقابل لـR هو TS، والوتر هو TR:
sin(TRS) = TS / TR = 3√5 / 5√5 = 3/5 = 0.6.
بالآلة الحاسبة (مضبوطة على الدرجات): TRS ≈ 36.87°، وبالتدوير إلى الدرجة: 37°.
التمرين الرابع: جملة معادلتين وخاصية طالس
1. حل الجملة
x + y = 90 (1) وx - 1.5y = 0 (2)
من (2): x = 1.5y. نعوض في (1): 1.5y + y = 90 ← 2.5y = 90 ← y = 90 / 2.5 = 36.
ثم x = 1.5 × 36 = 54.
الحل: (x ; y) = (54 ; 36).
2. خاصية طالس
المستقيمان (AB) و(CD) يتقاطعان في O، والمستقيمان (AC) و(BD) متوازيان، والنقط A, O, B على استقامة واحدة، وC, O, D كذلك. المعطيات: AB = 90 وOC = 66 وOD = 44.
أ. احسب OC / OD: 66 / 44 = 1.5.
ب. بتطبيق خاصية طالس: OA / OB = OC / OD = 1.5.
جـ. استنتج OA وOB: لدينا OA + OB = AB = 90 وOA = 1.5 × OB، وهي جملة المعادلتين نفسها، فنجد OA = 54 وOB = 36.
وهذا ما يظهر أن الجملة تُستعمل لحل السؤال التالي (فكرة التمرين).
المسألة: ثلاثة عروض لاستئجار الكتب
المعطيات: يقترح صاحب مكتبة ثلاثة عروض:
- العرض الأول:
45دج للكتاب الواحد، أيf(x) = 45x. - العرض الثاني:
15دج للكتاب مع بطاقة انخراط بـ600دج، أيg(x) = 15x + 600. - العرض الثالث:
1350دج مهما كان عدد الكتب، أيh(x) = 1350.
1. أكمل الجدول
عدد الكتب x |
20 | 28 | 50 |
|---|---|---|---|
| العرض الأول | 45 × 20 = 900 |
45 × 28 = 1260 |
45 × 50 = 2250 |
| العرض الثاني | 15 × 20 + 600 = 900 |
15 × 28 + 600 = 1020 |
15 × 50 + 600 = 1350 |
| العرض الثالث | 1350 |
1350 |
1350 |
كيف وجدنا الأعداد؟
- عندما يكون المبلغ
1260في العرض الأول:45x = 1260←x = 28. - عندما يكون المبلغ
1350في العرض الثاني:15x + 600 = 1350←15x = 750←x = 50.
2. مثّل بيانيا
نمثل الدوال الثلاث في معلم، بحيث يمثل 1 cm على محور الفواصل 4 كتب، وعلى محور التراتيب مبلغا مناسبا:
f: دالة خطية، مستقيم يمر بالمبدأ وبالنقطة(20 ; 900).g: دالة تآلفية، مستقيم يمر بالنقطتين(0 ; 600)و(20 ; 900).h: دالة ثابتة، مستقيم أفقي عند1350.
3. أوجد بيانيا عدد الكتب التي يكون عندها العرض الثاني هو الأفضل
العرض الأفضل هو الذي منحناه أسفل المنحنيين الآخرين (يدفع الزبون أقل).
fوgيتقاطعان عندx = 20(المبلغ 900).gوhيتقاطعان عندx = 50(المبلغ 1350).
بين التقاطعين يكون التمثيل g تحت f وتحت h. إذن العرض الثاني هو الأفضل عندما يكون عدد الكتب بين 20 و50 (تماما).
تحقق جبري: 45x = 15x + 600 ← 30x = 600 ← x = 20. و15x + 600 = 1350 ← x = 50. وهذا يطابق القراءة البيانية.
أين تضيع العلامات في هذا الموضوع؟
- نسيان الإشارة عند نشر
(x + 3)(7x - 4). - تحليل ناقص: التوقف عند
(7x - 4)(7x + 4) + (x + 3)(7x - 4)دون إخراج العامل المشترك. - ضبط الآلة على راديان بدل الدرجات.
- عدم تبرير إمكانية التقطيع بالقسمة على الأعداد.
- عدم ذكر شروط طالس (التوازي وترتيب النقط).
- الإجابة البيانية دون إبقاء خطوط الإسقاط على المحور.
نصائح للشهادة
- اقرأ الموضوع كاملا وابدأ بالأسهل.
- خصص وقتا أطول للمسألة (أكبر عدد نقاط).
- اكتب الصيغ والقواعد قبل التعويض.
- اترك آثار الرسم والإسقاط البياني.
الشرح المصوّر
لمن يفضل المتابعة بالصوت والصورة، يقدم الأستاذ زرواق صدام في فيديو «تصحيح وحل موضوع الرياضيات لشهادة التعليم المتوسط 2024» هذا الحل في نحو سبع وثلاثين دقيقة.