كيف تبقى لوحة معلقة على الحائط ساكنة؟ وكيف يبقى مصباح معلق بخيطين متدليًا دون أن يسقط أو ينقلب؟ الجواب في دراسة توازن جسم صلب تؤثر فيه عدة قوى. وفي السنة الرابعة متوسط تدرس حالة مهمة: توازن جسم صلب خاضع لثلاث قوى غير متوازية. وهو درس يطرح كثيرًا في الفروض والاختبارات وفي شهادة التعليم المتوسط. تعرض هذه الصفحة تذكيرًا بالقوة والشعاع، ثم شرطي التوازن، ثم طريقة الحل البيانية، ثم الحل بالحساب في حالات خاصة، ثم أمثلة محلولة، وتنتهي بأخطاء متكررة وتمارين.
ملاحظة في الكتابة: نرمز للقوة بحرف F ومعه دليل، وفي الكراس نضع سهمًا فوق الحرف عندما نقصد الشعاع. وفي هذه الصفحة نكتب «بالأشعة» قبل العلاقات الشعاعية.
تذكير: القوة
القوة مقدار شعاعي، تتميز بأربع مميزات: نقطة التأثير والحامل والمنحى والشدة (بالنيوتن N). ونقيس شدتها بجهاز يسمى الربيعة (الدينامومتر). وفي رسمنا نمثلها بشعاع طوله يتناسب مع شدتها بحسب سلم الرسم (مثلًا 1 cm لكل 1 N).
الجسم الصلب والتوازن
الجسم الصلب جسم لا يتشوه تحت تأثير القوى. ونقول إنه في توازن إذا بقي ساكنًا (أو في حركة مستقيمة منتظمة).
قوتان: مبدأ التوازن
إذا كان الجسم خاضعًا لقوتين فقط فشرط التوازن أن تكونا:
- لهما الحامل نفسه.
- متساويتين في الشدة.
- متعاكستين في المنحى.
ثلاث قوى غير متوازية
نعتبر جسمًا صلبًا S (مثل حلقة صغيرة كتلتها مهملة) معلقًا بثلاثة خيوط متصلة بثلاث ربائع D₁ وD₂ وD₃ تسحبه بثلاث قوى F₁ وF₂ وF₃ ليست متوازية. إذا كان الجسم في توازن فيجب تحقق شرطين:
الشرط الأول: حوامل القوى تتلاقى في نقطة واحدة وتقع في مستوٍ واحد
أي أن امتدادات خطوط تأثير القوى الثلاث تتقاطع في نقطة واحدة (مستوية)، فلا تدور الجملة.
الشرط الثاني: المجموع الشعاعي للقوى معدوم
بالأشعة: F₁ + F₂ + F₃ = 0.
أي أن الأشعة الثلاثة، إذا رسمناها متتابعة (نهاية الأول هي بداية الثاني، ونهاية الثاني بداية الثالث)، تشكل مثلثًا مغلقًا يسمى المثلث الاستاتيكي (أو مضلع القوى)، فتعود النهاية الأخيرة إلى بداية الأول.
طريقة الحل البياني
لإيجاد قوة مجهولة:
- نمثل القوى المعلومة بأشعة بحسب سلم الرسم.
- نرسم الأشعة متتابعة: نبدأ بالأول، ثم من نهايته الثاني.
- نغلق المثلث برسم الشعاع الثالث من نهاية الثاني إلى بداية الأول.
- نقيس طول الضلع الأخير بالمسطرة، ونحوله إلى نيوتن بحسب السلم، ونحدد اتجاهه من الرسم.
مثال 1: حل بالحساب
جسم S خاضع لقوى ثلاث: F₁ = 3 N أفقية، F₂ = 4 N شاقولية، وF₃ مجهولة. الجسم في توازن.
بما أن F₁ عمودية على F₂، فالمجموع الشعاعي المعدوم يعني أن F₃ تساوي عكس محصلة F₁ وF₂، وطول المحصلة بتطبيق نظرية فيثاغورس:
F₃² = F₁² + F₂² = 3² + 4² = 25.
إذن F₃ = 5 N. وتكون موجهة عكس المحصلة.
مثال 2: جسم معلق بخيطين
جسم ثقله P = 10 N معلق بخيطين، أحدهما أفقي والآخر مائل بزاوية 45° مع الشاقول.
القوى الثلاث: الثقل P (شاقولي نحو الأسفل)، وتوتر الخيط الأفقي T₁، وتوتر الخيط المائل T₂.
بالمثلث الاستاتيكي: نرسم P (10 وحدات) نحو الأسفل، ثم نرسم الشعاعين الآخرين بحيث يغلق المثلث. وبما أن الزاوية 45°، فالمثلث قائم ومتساوي الساقين، وعليه T₁ = P = 10 N، وT₂ = P × √2 ≈ 14.1 N.
مثال 3: رسم مثلث استاتيكي
ثلاث قوى: F₁ = 4 N وF₂ = 3 N وبينهما زاوية قائمة، وF₃ تعوض بينهما. بسلم 1 cm لكل 1 N:
- نرسم
F₁بطول4 cmأفقيًا. - من نهايتها نرسم
F₂بطول3 cmشاقوليًا نحو الأعلى. - نصل نهاية
F₂ببدايةF₁فنجد الضلع الأخير5 cm.
إذن F₃ = 5 N.
أخطاء شائعة
- نسيان أن الحوامل الثلاثة يجب أن تتلاقى في نقطة واحدة.
- رسم الأشعة غير متتابعة (من النقطة نفسها) عند بناء المثلث.
- عدم استعمال سلم الرسم.
- عدم تحديد منحى القوة الأخيرة.
- نسيان وحدة النيوتن.
- إدخال الثقل في الحساب لجسم مهمل الكتلة.
تمارين للتدرب
- اذكر شرطي توازن جسم صلب خاضع لثلاث قوى غير متوازية.
- قوتان
F₁ = 6 NوF₂ = 8 Nمتعامدتان وجسم في توازن مع ثالثة. ما شدةF₃؟ - لماذا يشكل رسم القوى الثلاث متتابعة مثلثًا مغلقًا؟
- جسم ثقله
P = 20 Nمعلق بخيطين متماثلين يصنع كل منهما نفس الزاوية مع الشاقول. هل توتر كل خيط أقل أم أكبر من10 N؟
الحلول:
- تلاقي الحوامل في نقطة واحدة في مستوٍ واحد، والمجموع الشعاعي معدوم.
F₃ = √(36 + 64) = 10 N.- لأن المجموع الشعاعي معدوم فتعود النهاية إلى البداية.
- أكبر من
10 Nلأن المركبتين الشاقوليتين مجتمعتين تعادلان الثقل وكل خيط مائل.
الشرح المصوّر
لمن يفضل المتابعة بالصوت والصورة، يشرح الأستاذ حمياني في فيديو «توازن جسم صلب خاضع لثلاث قوى غير متوازية للسنة الرابعة متوسط» هذا الدرس في نحو أربعين دقيقة، ويحل فيه ثلاثة أمثلة مقترحة بقوة للفروض والاختبارات وللشهادة، ويبدأ بجسم صلب مهمل الكتلة معلق بثلاثة خيوط متصلة بثلاث ربائع.
وللتدرب على الدرس، اطلع على هذين الملفين في الموقع: