يجد كثير من تلاميذ السنة الرابعة متوسط صعوبة في التمييز بين الدالة الخطية والدالة التآلفية، مع أن الفرق بينهما بسيط جدًا: عدد واحد يضاف أو لا يضاف. وإذا فهمت هذا الفرق انحلت أغلب مسائل الدرس. تعرض هذه الصفحة الشكل العام للدالتين، ثم معامل التوجيه والترتيب عند المبدأ، ثم التمثيل البياني، ثم كيف تعيّن دالة من قيمتين، وتنتهي بأخطاء متكررة وتمارين محلولة.
الدالة الخطية
الدالة الخطية هي كل دالة f تُكتب على الشكل:
f(x) = a x
حيث a عدد ثابت يسمى معامل الدالة. تمثل وضعية التناسبية: كلما ضربنا x في عدد ضربنا f(x) في العدد نفسه. وإذا كان x ≠ 0 فالنسبة f(x) / x = a ثابتة.
تمثيلها البياني مستقيم يمر حتمًا بالمبدأ O(0 ; 0)، لأن f(0) = 0. ونرسمه بنقطة واحدة غير المبدأ. مثلًا من أجل f(x) = 2x النقطة (1 ; 2).
الدالة التآلفية
الدالة التآلفية هي كل دالة g تُكتب على الشكل:
g(x) = a x + b
حيث a و b عددان ثابتان. فالدالة الخطية حالة خاصة منها حين b = 0، وإذا كان a = 0 فالدالة g(x) = b ثابتة.
تمثيلها البياني مستقيم لا يمر بالمبدأ في الحالة العامة (إلا إذا كان b = 0)، ويقطع محور التراتيب في النقطة (0 ; b). ونرسمه بنقطتين على الأقل.
معامل التوجيه والترتيب عند المبدأ
لمستقيم يمثل g(x) = a x + b:
aهو معامل التوجيه (الميل). وهو يتحكم في ميل المستقيم، وإذا كانتA(x₁ ; y₁)وB(x₂ ; y₂)نقطتين منه فـa = (y₂ − y₁) / (x₂ − x₁).bهو الترتيب عند المبدأ، أيg(0).
وإشارة a تحدد اتجاه تغير الدالة: إذا كان a > 0 فالدالة متزايدة، وإذا كان a < 0 فمتناقصة.
تعيين دالة معلومة من قيمتين
لتعيين دالة خطية يكفي قيمة واحدة: إذا كان f(4) = 10 فـ a = 10 / 4 = 2.5 ومنه f(x) = 2.5 x.
لتعيين دالة تآلفية نحتاج قيمتين: إذا كان g(1) = 5 و g(3) = 9 فنحسب أولًا a = (9 − 5) / (3 − 1) = 2، ثم نعوّض في أحد الشرطين لإيجاد b: 5 = 2 × 1 + b ومنه b = 3. إذن g(x) = 2x + 3.
الصورة والسابقة
- الصورة: نعوّض فنحسب.
g(4) = 2 × 4 + 3 = 11. - السابقة: نحل معادلة. سابقة العدد 11 بالدالة
gهي حل2x + 3 = 11أيx = 4. - النقطة على المنحنى: نتحقق بالتعويض. النقطة
A(2 ; 7)تنتمي إلى منحنىgلأنg(2) = 7. أماB(−1 ; 2)فلا، لأنg(−1) = 1.
تطبيقات من الحياة
- سعر بالكيلوغرام (دالة خطية):
p(x) = 120 xحيثxالكتلة بالكيلوغرام والسعر بالدينار، لأن الكتلة المنعدمة سعرها معدوم. - أجرة سيارة أجرة (دالة تآلفية): مبلغ ثابت
50 DAعند الصعود و30 DAلكل كيلومتر، فالأجرةt(d) = 30 d + 50. هناb = 50هو المبلغ الثابت، ومعامل التوجيهa = 30هو سعر الكيلومتر.
تقاطع مستقيمين
لإيجاد نقطة تقاطع g(x) = 2x + 3 و h(x) = −x + 9 نحل 2x + 3 = −x + 9 أي 3x = 6 ومنه x = 2، والترتيب g(2) = 7. نقطة التقاطع (2 ; 7).
أخطاء شائعة
- الخلط بين الدالتين. الدالة
3x − 2تآلفية وليست خطية، لأن فيهاb = −2. - رسم مستقيم دالة تآلفية مارًا بالمبدأ، والصواب أنه يقطع المحور عند
(0 ; b). - ترتيب الفروق عند حساب
aبصورة غير متسقة: يجب أن تحسبy₂ − y₁وx₂ − x₁بالترتيب نفسه. - وضع
bقبلaأو عكس الإشارة عند تعيينb. - القول إن
g(0)هو معامل التوجيه. هو الترتيب عند المبدأ. - حل السابقة بالتعويض في
xبدل حل معادلة.
تمارين للتدرب
- دالة خطية
fفيهاf(4) = 10. أوجدf(x)ثم احسبf(−6). - دالة تآلفية
gفيهاg(0) = 3وg(2) = 7. أوجدg(x)وسابقة العدد 11. - أجرة سيارة أجرة:
40 DAثابتة و25 DAللكيلومتر. ما أجرة 12 km؟ - أي هذه الدوال خطية وأيها تآلفية غير خطية:
f(x) = 5xوg(x) = 3x − 2وh(x) = −x؟ - أوجد نقطة تقاطع
g(x) = 2x + 3وh(x) = −x + 9.
الحلول:
a = 10 / 4 = 2.5فـf(x) = 2.5 x، وf(−6) = −15.b = g(0) = 3وa = (7 − 3) / 2 = 2، فـg(x) = 2x + 3. سابقة 11:2x + 3 = 11أيx = 4.25 × 12 + 40 = 340 DA.fوhخطيتان، وgتآلفية غير خطية لأنb = −2.2x + 3 = −x + 9تعطيx = 2، فالنقطة(2 ; 7).
الشرح المصوّر وملفات التمارين
لمن يفضل المتابعة بالصوت والصورة، يعرض الأستاذ سليم مختارة في فيديو «أقوى شرح: الدالة الخطية مقابل الدالة التآلفية» الجزء الأول من الدرس في نحو أربع عشرة دقيقة، ويعد فيه بإزالة الصعوبات في هاتين الدالتين، مبتدئًا بالشكل العام لكل منهما وأوجه الاختلاف والتشابه بينهما.
وللتطبيق على تمارين حقيقية، اطلع على هذه الملفات في الموقع: