النسب المثلثية في المثلث القائم: جيب التمام والجيب والظل وتطبيقاتها - السنة الرابعة متوسط

في السنة الثالثة متوسط تعرفت على جيب التمام، وفي السنة الرابعة تكتمل الصورة بالجيب والظل. هذه النسب الثلاث أداة قوية لحساب طول ضلع أو قياس زاوية في مثلث قائم دون أن ترسمه ولا أن تقيسه. تشرح هذه الصفحة الأضلاع التي تتعامل معها، ثم التعريفات والعلاقات بينها، واستعمال الآلة الحاسبة، وحل المسائل خطوة بخطوة، ثم أخطاء متكررة وتمارين بحلولها.

الأضلاع في المثلث القائم

النسب المثلثية لا تُطبق إلا في المثلث القائم، وعلى زاوية حادة واحدة منه في كل مرة، أي على إحدى الزاويتين غير القائمة. لذلك قبل أي حساب اختر الزاوية التي ستعمل عليها، ثم سمِّ الأضلاع بالنسبة إليها:

• الوتر: هو أطول ضلع في المثلث القائم، وهو الضلع المقابل للزاوية القائمة. لا يتغير مهما اخترت من زاوية.
• الضلع المجاور: هو الضلع الذي يلامس الزاوية المختارة، وهو غير الوتر.
• الضلع المقابل: هو الضلع الذي يواجه الزاوية المختارة ولا يلامسها.

وانتبه: إذا غيرت الزاوية المختارة تبادل الضلعان المجاور والمقابل دورهما، أما الوتر فيبقى وترًا.

التعريفات

من أجل زاوية حادة ⁦α⁩ في مثلث قائم:

• جيب التمام ⁦cos α⁩ هو نسبة طول الضلع المجاور إلى طول الوتر.
• الجيب ⁦sin α⁩ هو نسبة طول الضلع المقابل إلى طول الوتر.
• الظل ⁦tan α⁩ هو نسبة طول الضلع المقابل إلى طول الضلع المجاور.

وهذه النسب كلها قسمة طولين، فلا وحدة لها: لا تكتب سنتمترًا ولا مترًا بعدها. وللحفظ يستعمل كثير من التلاميذ العبارة ⁦CAH SOH TOA⁩، أي جيب التمام ⁦cos⁩ = المجاور على الوتر، والجيب ⁦sin⁩ = المقابل على الوتر، والظل ⁦tan⁩ = المقابل على المجاور.

ولأن الوتر أطول ضلع، فقيمة ⁦cos α⁩ وقيمة ⁦sin α⁩ محصورتان دائمًا بين 0 و 1 من أجل زاوية حادة. أما ⁦tan α⁩ فقد يتجاوز 1 إذا كان الضلع المقابل أطول من المجاور.

مثال. المثلث ⁦ABC⁩ قائم في ⁦A⁩ حيث ⁦AB = 6⁩ و ⁦AC = 8⁩ و ⁦BC = 10⁩. بالنسبة إلى الزاوية ⁦B⁩: المجاور هو ⁦AB⁩ والمقابل هو ⁦AC⁩، فنجد ⁦cos B = 6 / 10 = 0.6⁩ و ⁦sin B = 8 / 10 = 0.8⁩ و ⁦tan B = 8 / 6 = 4 / 3⁩. وبالنسبة إلى الزاوية ⁦C⁩ يتبادل الضلعان دوريهما: ⁦cos C = 0.8⁩ و ⁦sin C = 0.6⁩ و ⁦tan C = 0.75⁩. لاحظ أن ⁦cos B = sin C⁩، وهذا طبيعي لأن الزاويتين ⁦B⁩ و ⁦C⁩ متتامتان.

العلاقات بين النسب

• ⁦cos² α + sin² α = 1⁩. تحقق من المثال: ⁦0.6² + 0.8² = 0.36 + 0.64 = 1⁩.
• ⁦tan α = sin α / cos α⁩. تحقق: ⁦0.8 / 0.6 = 4 / 3⁩.

وتفيدك هاتان العلاقتان في استنتاج نسبة من أخرى بلا رسم. مثلًا إذا كان ⁦cos α = 0.6⁩ وزاوية ⁦α⁩ حادة فإن ⁦sin² α = 1 − 0.36 = 0.64⁩ ومنه ⁦sin α = 0.8⁩، ثم ⁦tan α = 0.8 / 0.6 = 4 / 3⁩.

وهناك قيم تتكرر للزوايا الخاصة تُستعمل في الحسابات الدقيقة بلا آلة: ⁦sin 30° = 1 / 2⁩ و ⁦cos 30° = √3 / 2⁩ و ⁦tan 30° = √3 / 3⁩، ثم ⁦sin 45° = cos 45° = √2 / 2⁩ و ⁦tan 45° = 1⁩، ثم ⁦sin 60° = √3 / 2⁩ و ⁦cos 60° = 1 / 2⁩ و ⁦tan 60° = √3⁩. اسأل أستاذك عما يُطلب منك حفظه منها.

استعمال الآلة الحاسبة

• تأكد أولًا من أن الآلة في وضع الدرجات، ويظهر على الشاشة الرمز ⁦D⁩ أو ⁦DEG⁩، لأن وضع الراديان أو الغراد يعطي قيمًا خاطئة.
• لحساب نسبة زاوية معلومة اكتب ⁦cos⁩ أو ⁦sin⁩ أو ⁦tan⁩ ثم قياس الزاوية، فيكون ⁦cos 40° ≈ 0.766⁩.
• لإيجاد قياس زاوية من نسبتها استعمل الدالة العكسية ⁦cos⁻¹⁩ أو ⁦sin⁻¹⁩ أو ⁦tan⁻¹⁩ بالضغط على ⁦shift⁩ أو ⁦2nd⁩. مثلًا إذا كان ⁦cos B = 0.6⁩ فإن ⁦B ≈ 53.13°⁩، أي نحو ⁦53°⁩ بالتقريب إلى الوحدة.

كيف تحل مسألة؟

1. ارسم المثلث القائم وعيّن الزاوية القائمة والوتر.
2. حدد الزاوية التي تعرف قياسها أو التي تبحث عنها.
3. سمِّ الأضلاع بالنسبة إلى هذه الزاوية: وتر ومجاور ومقابل.
4. اختر النسبة التي تحتوي الضلعين المعنيين، وهما المعلوم والمجهول.
5. اكتب المعادلة وحلها، ثم تحقق من أن النتيجة معقولة.

مثال 1: ارتفاع شجرة. نقف على بعد 20 م من قاعدة شجرة، فنرى قمتها بزاوية ارتفاع ⁦35°⁩. الضلع المجاور للزاوية هو المسافة الأفقية 20 م، والمقابل هو الارتفاع ⁦h⁩. نستعمل الظل: ⁦tan 35° = h / 20⁩، ومنه ⁦h = 20 × tan 35° ≈ 14.0⁩ م.

مثال 2: سلم. سلم طوله 5 م مسند إلى جدار ويصنع مع الأرض زاوية ⁦70°⁩. الارتفاع الذي يبلغه على الجدار هو الضلع المقابل للزاوية، والسلم هو الوتر: ⁦h = 5 × sin 70° ≈ 4.70⁩ م. وبعد قاعدته عن الجدار هو الضلع المجاور: ⁦d = 5 × cos 70° ≈ 1.71⁩ م.

مثال 3: إيجاد زاوية. مثلث قائم فيه ضلع مقابل 5 وضلع مجاور 12. ⁦tan α = 5 / 12 ≈ 0.4167⁩ ومنه ⁦α ≈ 22.6°⁩. ويمكن حساب الوتر بفيثاغورس: ⁦√(5² + 12²) = 13⁩، ثم التحقق: ⁦sin α = 5 / 13 ≈ 0.385⁩، و ⁦sin 22.6° ≈ 0.384⁩، وهما متوافقان بالتقريب.

أخطاء شائعة

• تسمية الأضلاع بالنسبة إلى زاوية والحساب على زاوية أخرى. عيّن الزاوية قبل كل شيء.
• اعتبار الوتر ضلعًا مجاورًا أو مقابلًا. الوتر لا يكون إلا وترًا.
• كتابة وحدة بعد النسبة المثلثية. النسبة بلا وحدة.
• ترك الآلة الحاسبة في غير وضع الدرجات.
• كتابة الوتر في البسط، فتخرج قيمة جيب أو جيب تمام أكبر من 1، وهذا مؤشر خطأ يجب أن ينبهك.
• التقريب مبكرًا. أبقِ الأرقام كاملة في الآلة ثم قرّب النتيجة النهائية فقط.

تمارين للتدرب

1. المثلث ⁦ABC⁩ قائم في ⁦A⁩ حيث ⁦AB = 5⁩ و ⁦AC = 12⁩. احسب ⁦BC⁩ ثم ⁦cos B⁩ و ⁦sin B⁩ و ⁦tan B⁩.
2. زاوية حادة ⁦α⁩ فيها ⁦cos α = 0.8⁩. احسب ⁦sin α⁩ و ⁦tan α⁩.
3. مثلث قائم وتره 12 وفيه زاوية ⁦30°⁩. احسب طول الضلع المقابل لهذه الزاوية.
4. منحدر طوله 3 م يرتفع 0.5 م. احسب الزاوية التي يصنعها مع الأرض.
5. برهن أن ⁦cos 45° = sin 45°⁩.

الحلول:

1. ⁦BC = √(25 + 144) = 13⁩. إذن ⁦cos B = 5 / 13⁩ و ⁦sin B = 12 / 13⁩ و ⁦tan B = 12 / 5⁩.
2. ⁦sin² α = 1 − 0.64 = 0.36⁩ ومنه ⁦sin α = 0.6⁩، ثم ⁦tan α = 0.6 / 0.8 = 0.75⁩.
3. الضلع المقابل هو ⁦12 × sin 30° = 12 × 0.5 = 6⁩.
4. ⁦sin α = 0.5 / 3 ≈ 0.1667⁩ ومنه ⁦α ≈ 9.6°⁩.
5. في المثلث القائم المتساوي الساقين تساوي الزاويتان الحادتان ⁦45°⁩ ويتساوى الضلع المجاور والمقابل، فتتساوى نسبتاهما إلى الوتر، أي ⁦cos 45° = sin 45°⁩.

الشرح المصوّر وملفات التمارين

لمن يفضل المتابعة بالصوت والصورة، يشرح الأستاذ الناجح في فيديو «التعرف على النسب المثلثية cos sin tan» الوتر والضلعين المجاور والمقابل، ثم النسب الثلاث بمثال عددي على مثلث أضلاعه 6 و 8 و 10، في نحو ست عشرة دقيقة.

وللتدرب على تمارين حقيقية، اطلع على هذه الملفات في الموقع:

• تمارين حول حساب المثلثات في المثلث القائم للأستاذ عبد الحفيظي عادل
• تمارين مع الحل: الباب 10 حساب المثلثات في المثلث القائم
• ملخص النسب المثلثية في المثلث القائم للأستاذ مباركي