حين تفتح باب غرفتك أو تدير مفتاح السيارة أو تشاهد عجلة تدور، فأنت أمام حركة دورانية. وهي غير الحركة الانسحابية التي درستها في الدرس السابق: فالجسم هنا يدور حول محور ثابت ولكل نقطة فيه سرعتها الخاصة بحسب بعدها عن المحور. وفي هذا الدرس من برنامج السنة الثانية ثانوي تتعلم كيف تصف هذه الحركة وكيف تحسب العمل والطاقة فيها. وهو درس طويل، لكنه ينظم نفسه في ثلاثة أقسام: وصف الحركة، ثم العزوم والعمل، ثم عزم العطالة والطاقة الحركية. تعرض هذه الصفحة هذه الأقسام بالترتيب، وتنتهي بأخطاء متكررة وتمارين محلولة.
أولًا: وصف الحركة الدورانية
لجسم صلب يدور حول محور ثابت Δ، نعرّف المقادير التالية:
- الفاصلة المنحنية
s: المسافة التي تقطعها نقطة من الجسم على مسارها الدائري، بالمتر. فإذا أعطيت بالسنتيمتر أو المليمتر وجب تحويلها إلى المتر. - الفاصلة الزاوية
θ: الزاوية التي يمسحها الجسم، بالراديانrad. ولا نستعمل الدرجات هنا، وإذا أعطيت الزاوية بالدورات حولناها:1 tr = 2π rad. - السرعة الزاوية
ω:ω = Δθ ÷ Δtوحدتهاrad/s. - السرعة الخطية
v:v = Δs ÷ Δt.
والعلاقتان المهمتان بين المقادير:
s = r × θ
v = r × ω
حيث r بعد النقطة عن المحور. والسرعة الزاوية واحدة لكل نقاط الجسم، أما السرعة الخطية فتزيد بالابتعاد عن المحور.
مثال: عجلة نصف قطرها 0.5 m تدور بسرعة 120 دورة في الدقيقة. السرعة الزاوية ω = 120 × 2π ÷ 60 = 4π ≈ 12.57 rad/s، والسرعة الخطية لنقطة على محيطها v = 0.5 × 12.57 ≈ 6.28 m/s.
ثانيًا: عزم القوة وعزم المزدوجة
عزم قوة بالنسبة إلى محور
القوة التي تسحب الجسم لا تعطي دورانًا، أما القوة التي تتسبب في تدويره فنقول إن لها عزمًا بالنسبة إلى المحور. ونحسبه بالعلاقة:
M_Δ(F) = ± F × d
حيث:
Fشدة القوة بالنيوتنN.dذراع القوة بالمتر: وهي المسافة العمودية بين المحور وحامل القوة.- الإشارة موجبة إذا كانت القوة تدور في جهة الحركة الموجبة (جهة اختيارنا)، وسالبة إذا كانت عكسها.
وفي حساب d يخطئ كثير من التلاميذ بأخذ المسافة من المحور إلى نقطة تأثير القوة، وهذا خطأ. والصواب: نمدّ حامل القوة، ثم نرسم من المحور عمودًا عليه، وطول هذا العمود هو d.
عزم مزدوجة
المزدوجة قوتان متساويتان في الشدة ومتعاكستان في الجهة ومتوازيتان (لا يجمعهما حامل واحد). عزمها:
M = ± F × d
حيث d المسافة العمودية بين حاملي القوتين، وF شدة إحداهما فقط (لا نجمع القوتين).
وعزم المزدوجة لا يتعلق بموضع المحور.
وحدة العزم
النيوتن متر N·m.
ثالثًا: عمل القوة في الدوران
عمل قوة أو مزدوجة تدير جسمًا زاوية Δθ هو:
W = M × Δθ
بالجول J، حيث M العزم بـ N·m وΔθ بالراديان. وهي علاقة واحدة سواء كنا مع عزم قوة أو عزم مزدوجة.
مثال: قوة شدتها 20 N وذراعها 0.3 m تدير جسمًا زاوية 2 rad. العزم M = 20 × 0.3 = 6 N·m، والعمل W = 6 × 2 = 12 J.
رابعًا: عزم العطالة والطاقة الحركية
عزم العطالة J_Δ مقدار يقيس ممانعة الجسم للدوران حول المحور، كما أن الكتلة تقيس ممانعة الجسم للتغير في حركته الانسحابية. ووحدته kg·m²، ويتعلق بكتلة الجسم وبكيفية توزعها حول المحور: كلما بعدت الكتلة عن المحور زاد عزم العطالة.
الطاقة الحركية في الدوران
E_c = ½ × J_Δ × ω²
وهي تقابل ½ × m × v² في الحركة الانسحابية.
مثال: إذا كان عزم عطالة العجلة السابقة 0.2 kg·m²: E_c = 0.5 × 0.2 × 12.57² ≈ 15.8 J.
نظرية الطاقة الحركية
تغير الطاقة الحركية يساوي مجموع أعمال القوى المؤثرة:
ΔE_c = ½ × J_Δ × (ω₂² − ω₁²) = ΣW
نظرية هويجنز
تربط عزم العطالة حول محور بعزم العطالة حول محور مواز له يمر بمركز العطالة G:
J_Δ = J_G + m × d²
حيث d المسافة بين المحورين وm كتلة الجسم.
مثال: جسم كتلته 2 kg وعزم عطالته حول محور يمر بمركز عطالته 0.02 kg·m². حول محور مواز يبعد 0.1 m: J_Δ = 0.02 + 2 × 0.1² = 0.04 kg·m².
توازن جسم قابل للدوران
يكون الجسم في توازن عندما يكون مجموع العزوم بالنسبة للمحور معدومًا (إضافة إلى مجموع القوى المعدوم). ومعنى ذلك أن مجموع العزوم الموجبة يساوي مجموع العزوم السالبة.
أخطاء شائعة
- أخذ ذراع القوة
dمن المحور إلى نقطة تأثير القوة وليس العمودي على الحامل. - استعمال الدرجات بدل الراديان في
W = M × Δθأوs = r × θ. - جمع قوتي المزدوجة في العلاقة، والصواب أخذ إحداهما فقط.
- نسيان إشارة العزم (موجب أو سالب).
- نسيان تحويل المسافة من السنتيمتر إلى المتر.
- الخلط بين
ω(السرعة الزاوية) وv(السرعة الخطية). - تطبيق نظرية هويجنز على محور لا يمر بمركز العطالة كمرجع.
تمارين للتدرب
- قرص يدور بسرعة
300 tr/min. احسب سرعته الزاوية. - قوة
F = 15 Nذراعها20 cm. احسب عزمها (جهة الدوران موجبة). - احسب عمل هذه القوة عندما يدور القرص زاوية
π rad. - قرص عزم عطالته
0.1 kg·m²يدور بسرعة10 rad/s. احسب طاقته الحركية. - جسم كتلته
1 kgوJ_G = 0.05 kg·m². احسبJ_Δحول محور يبعد0.2 mعنG.
الحلول:
ω = 300 × 2π ÷ 60 = 10π ≈ 31.4 rad/s.d = 0.2 mإذنM = 15 × 0.2 = 3 N·m.W = 3 × π ≈ 9.42 J.E_c = 0.5 × 0.1 × 100 = 5 J.J_Δ = 0.05 + 1 × 0.2² = 0.09 kg·m².
الشرح المصوّر
لمن يفضل المتابعة بالصوت والصورة، يقدم الأستاذ لخضر سيف الله في فيديو «العمل والطاقة الحركية في الحركة الدورانية، شرح مفصل مع الأمثلة» الدرس في نحو أربع وثلاثين دقيقة، مبتدئًا بخصائص الحركة الدورانية الأربع: الفاصلة المنحنية والفاصلة الزاوية والسرعة المتوسطة والسرعة الزاوية، ثم عزم القوة وعزم المزدوجة، وصولًا إلى عزم العطالة ونظرية هويجنز والجسم في حالة توازن.
وللتوسع، اطلع على هذه الملفات في الموقع: