مراجعة الأنشطة الهندسية للسنة الثالثة متوسط: حالات تقايس المثلثات ومستقيم المنتصفين وخاصية طالس

يشكو كثير من تلاميذ السنة الثالثة متوسط من ضعفهم في الهندسة، لأنهم يرون المطلوب «برهنوا» ولا يعرفون من أين يبدؤون. والحقيقة أن الهندسة في هذا المستوى تقوم على ثلاث أفكار فقط: تقايس المثلثات، ومستقيم المنتصفين، وخاصية طالس. وإذا أتقنتها، وأتقنت أسلوب كتابة البرهان، صارت الهندسة أسهل أجزاء الاختبار. تعرض الصفحة مراجعة شاملة لهذه الأفكار مع أمثلة محلولة، وطريقة منظمة لتحرير الجواب.

كيف يكتب البرهان؟

يتكون كل جواب هندسي من أربع جمل مرتبة:

1. المعطيات: «في المثلث ⁦ABC⁩...».
2. الخاصية المستعملة: «بتطبيق خاصية طالس...».
3. الحساب أو الاستنتاج.
4. النتيجة بجملة مكتملة.

وقاعدة ذهبية: لا تكتب نتيجة بلا خاصية، فكل سطر في البرهان يجب أن يستند إلى معطى أو خاصية معروفة.

أولا: حالات تقايس مثلثين

يتقايس مثلثان إذا كانت أضلاعهما وزواياهما المتناظرة متساوية.

لكن لا يلزم التحقق من الأضلاع والزوايا الستة، فيكفي التحقق من حالة من ثلاث:

مثال محلول (1)

في المثلثين ⁦ABC⁩ و⁦RST⁩: ⁦AB = RS = 7 cm⁩، والزاوية ⁦A = R = 30⁩ درجة، والزاوية ⁦B = S = 40⁩ درجة.

• لدينا ضلع (7 cm) وزاويتان مجاورتان له، فيتقايس المثلثان بالحالة الأولى.
• نستنتج ⁦AC = RT⁩ و⁦BC = ST⁩ والزاوية ⁦C = T = 110⁩ درجة (لأن 180 - 30 - 40 = 110).

فائدة التقايس

يستعمل التقايس لإثبات تساوي أطوال أو تساوي زوايا في شكل هندسي، كإثبات أن القطرين متساويان أو أن مثلثا متقايس الساقين.

مثال محلول (2): الرباعي

في متوازي الأضلاع ⁦ABCD⁩ نصل ⁦AC⁩. المثلثان ⁦ABC⁩ و⁦CDA⁩ فيهما ⁦AB = CD⁩ و⁦BC = DA⁩ والضلع ⁦AC⁩ مشترك. إذن يتقايسان بالحالة الثالثة، ومنه الزاوية ⁦B⁩ تساوي الزاوية ⁦D⁩.

ثانيا: خاصية مستقيم المنتصفين

الخاصية المباشرة

في مثلث، المستقيم المار من منتصفي ضلعين يوازي الضلع الثالث، والقطعة الواصلة بين المنتصفين طولها نصف طول الضلع الثالث.

بالرموز: في ⁦ABC⁩ إذا كان ⁦M⁩ منتصف ⁦[AB]⁩ و⁦N⁩ منتصف ⁦[AC]⁩ فإن ⁦(MN) // (BC)⁩ و⁦MN = BC / 2⁩.

الخاصية العكسية

في مثلث، المستقيم المار من منتصف ضلع والموازي لضلع ثان يمر من منتصف الضلع الثالث.

مثال محلول (3)

في المثلث ⁦ABC⁩: ⁦M⁩ منتصف ⁦[AB]⁩ و⁦N⁩ منتصف ⁦[AC]⁩ و⁦BC = 12 cm⁩. احسب ⁦MN⁩.

• بما أن ⁦M⁩ و⁦N⁩ منتصفا ضلعين فإن ⁦(MN) // (BC)⁩ و⁦MN = BC / 2⁩.
• ⁦MN = 12 / 2 = 6 cm⁩.

مثال محلول (4): إثبات التوازي

⁦ABCD⁩ رباعي، و⁦E⁩ و⁦F⁩ و⁦G⁩ و⁦H⁩ منتصفات أضلاعه. أثبت أن ⁦EFGH⁩ متوازي أضلاع.

• في المثلث ⁦ABC⁩: ⁦E⁩ منتصف ⁦[AB]⁩ و⁦F⁩ منتصف ⁦[BC]⁩ فـ⁦(EF) // (AC)⁩ و⁦EF = AC / 2⁩.
• في المثلث ⁦ADC⁩: ⁦H⁩ منتصف ⁦[AD]⁩ و⁦G⁩ منتصف ⁦[DC]⁩ فـ⁦(HG) // (AC)⁩ و⁦HG = AC / 2⁩.
• إذن ⁦(EF) // (HG)⁩ و⁦EF = HG⁩، فالرباعي ⁦EFGH⁩ متوازي أضلاع.

ثالثا: خاصية طالس

الخاصية المباشرة

إذا كانت ⁦(BC)⁩ و⁦(MN)⁩ متوازيتين، و⁦M⁩ على ⁦(AB)⁩ و⁦N⁩ على ⁦(AC)⁩، فإن: ⁦AM / AB = AN / AC = MN / BC⁩.

الخاصية العكسية

إذا كان ⁦AM / AB = AN / AC⁩ والنقاط ⁦A, M, B⁩ و⁦A, N, C⁩ على استقامة واحدة وبالترتيب نفسه، فإن ⁦(MN) // (BC)⁩.

الأوضاع

مثال محلول (5): حساب طول

⁦(MN) // (BC)⁩ و⁦AM = 3⁩ و⁦AB = 5⁩ و⁦BC = 10⁩. احسب ⁦MN⁩.

• بخاصية طالس: ⁦AM / AB = MN / BC⁩، أي ⁦3 / 5 = MN / 10⁩.
• ⁦MN = (3 × 10) / 5 = 6⁩.

مثال محلول (6): إثبات التوازي (العكسية)

⁦AM = 4⁩ و⁦AB = 10⁩ و⁦AN = 6⁩ و⁦AC = 15⁩. هل ⁦(MN) // (BC)⁩؟

• ⁦AM / AB = 4 / 10 = 0.4⁩ و⁦AN / AC = 6 / 15 = 0.4⁩.
• النسبتان متساويتان والنقط بالترتيب نفسه، إذن بالخاصية العكسية ⁦(MN) // (BC)⁩.

مثال محلول (7): نسبتان غير متساويتين

⁦AM = 2⁩ و⁦AB = 5⁩ و⁦AN = 3⁩ و⁦AC = 8⁩: ⁦2/5 = 0.4⁩ و⁦3/8 = 0.375⁩، لا تتساويان، إذن ⁦(MN)⁩ غير موازي ⁦(BC)⁩. والبرهان بالعكس عن طريق أن التناسب غير محقق.

رابعا: اختيار الخاصية المناسبة

أخطاء شائعة

• استعمال خاصية طالس دون التأكد من التوازي.
• كتابة النسب بترتيب غير متناظر (مثلا ⁦AM / AN⁩).
• نسيان ذكر ترتيب النقط على المستقيمين في العكسية.
• القول إن المثلثين متقايسان لأن لهما ثلاث زوايا متساوية فقط (هذا يعطي تشابها لا تقايسا).
• كتابة نتيجة دون خاصية.

تمارين نموذجية

1. مثلث ⁦ABC⁩ و⁦M⁩ منتصف ⁦[AB]⁩، والمستقيم الموازي لـ⁦(BC)⁩ المار من ⁦M⁩ يقطع ⁦[AC]⁩ في ⁦N⁩. أثبت أن ⁦N⁩ منتصف ⁦[AC]⁩.
2. في المثلث ⁦EFG⁩ طول ⁦FG⁩ يساوي ⁦14⁩، و⁦I⁩ و⁦J⁩ منتصفا ⁦[EF]⁩ و⁦[EG]⁩: احسب ⁦IJ⁩. (⁦7⁩)
3. ⁦AM = 2.4⁩ و⁦AB = 6⁩ و⁦AN = 3⁩ و⁦AC = 7.5⁩: بين أن ⁦(MN) // (BC)⁩. (النسبتان 0.4)

نصائح

• ارسم الشكل بالمقاييس وسمّ الأطوال المعطاة.
• اكتب الخاصية كاملة قبل التعويض.
• راجع النتيجة: هل المنطق الهندسي يقبلها؟

الشرح المصوّر

لمن يفضل المتابعة بالصوت والصورة، يقدم الأستاذ في دار الرياضيات فيديو «مراجعة شاملة لكل دروس الأنشطة الهندسية للسنة 3 متوسط تحضيرا لاختبار الفصل الأول» في نحو ساعة، يضم كل الأفكار والتمارين.